קליק · אתגר והכללה בחטיבת הביניים

מעגל ועיגול: היקף ושטח · אתגר והכללה

מנמקים השוואות, מוצאים מידות חסרות בצורות מורכבות ומבחינים בין שינוי יחסי לשינוי קבוע.

הרחבה לבחירה · מיפוי פדגוגי לחטיבת הביניים על בסיס תוכנית החטיבה; ההרחבות מסומנות לפי מוכנות. אין כאן אימות מלא לכל החרגות תוכנית תשפ״ז. הרמות הן עומק למידה, לא מספר יחידות בתיכון. מנמקים השוואות, מוצאים מידות חסרות בצורות מורכבות ומבחינים בין שינוי יחסי לשינוי קבוע.

יחידת לימוד עד כיתה ט׳, עם הרחבות מסומנות לבחירה. הרמות הן של קליק; הן אינן מסלולי בגרות או אישור לכיסוי מלא של תוכנית שנתית.

https://klikedu.app/learn/circles-measurement?target=5

לפני שמתחילים

1. אותו אורך שפה, שטח שונה

כאשר מחלקים אורך כולל של מעגל אחד בין כמה מעגלים, השטח הכולל אינו נשמר. סכום ההיקפים תלוי בסכום הרדיוסים, אבל סכום השטחים תלוי בסכום ריבועיהם. משווים את שני הגדלים בנפרד.

דוגמה: חוט באורך 12π ס״מ יוצר מעגל אחד, או שני מעגלים שווים. השוו את סכום שטחי העיגולים.

  1. במעגל אחד 2πr = 12π, לכן r = 6 ושטחו 36π סמ״ר.
  2. לכל אחד משני המעגלים היקף 6π, לכן רדיוס 3 ושטח 9π.
  3. סכום שטחיהם 18π סמ״ר, חצי משטח העיגול היחיד, אף שהיקף החוט הכולל נשמר.

תרגול מודרך

חוט באורך 8π ס״מ יוצר ארבעה מעגלים שווים. מה סכום שטחי העיגולים?

  • 16π סמ״ר
  • 8π סמ״ר
  • 4π סמ״ר

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

מעגל אחד ושני מעגלים שווים עשויים מחוטים בעלי אותו אורך כולל. מה יחס שטח העיגול היחיד לסכום שני השטחים?

  • 2 : 1
  • 1 : 1
  • 4 : 1

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

2. מציאת רדיוס חסר בטבעת

מנתון של שטח טבעת אפשר לבנות משוואה בריבועי הרדיוסים. לאחר החילוק ב־π מעבירים אגף ומוצאים שורש חיובי. בודקים שהרדיוס החיצוני אכן גדול מהפנימי.

דוגמה: שטח טבעת 40π סמ״ר ורדיוסה הפנימי 3 ס״מ. מה הרדיוס החיצוני ורוחב הטבעת?

  1. π(R² − 9) = 40π ולכן R² − 9 = 40.
  2. R² = 49 ולכן R = 7 ס״מ.
  3. רוחב הטבעת 7 − 3 = 4 ס״מ; בדיקה π(49 − 9) = 40π.

תרגול מודרך

שטח טבעת 48π סמ״ר ורדיוסה החיצוני 8 ס״מ. מה הרדיוס הפנימי?

  • 4 ס״מ
  • 16 ס״מ
  • 48 ס״מ

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

טבעת ברדיוס פנימי 5 ס״מ ושטח 24π סמ״ר. מה רוחבה?

  • 7 ס״מ
  • 2 ס״מ
  • 24 ס״מ

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

3. מלבן בעיגול: קודם אורך, אחר כך שטח

במלבן שמרכזו מרכז העיגול וכל קודקודיו על המעגל, אלכסון המלבן הוא קוטר העיגול. פיתגורס במשולש ישר הזווית שבמלבן מאפשר לחשב אלכסון מתוך שתי צלעות. כדי למצוא שטח פנוי מחסרים את שטח המלבן משטח העיגול.

דוגמה: מלבן שצלעותיו 6 ו־8 ס״מ חסום בעיגול כך שאלכסונו הוא קוטר. מה השטח שבתוך העיגול ומחוץ למלבן?

  1. אלכסון המלבן: d² = 6² + 8² = 100, ולכן d = 10 ס״מ.
  2. רדיוס העיגול 5 ס״מ, ושטחו 25π סמ״ר.
  3. שטח המלבן 48 סמ״ר, ולכן השטח הנותר 25π − 48 סמ״ר.

תרגול מודרך

מלבן 5 על 12 ס״מ חסום בעיגול שאלכסונו קוטר. מה רדיוס העיגול?

  • 13 ס״מ
  • 6.5 ס״מ
  • 17 ס״מ

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

ריבוע שצלעו 4 ס״מ חסום בעיגול שאלכסונו קוטר. מה שטח העיגול?

  • 16π סמ״ר
  • 4π סמ״ר
  • 8π סמ״ר

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

4. תוספת קבועה לרדיוס: מה משתנה באותה מידה?

אם מוסיפים t לרדיוס, תוספת ההיקף היא 2πt ללא תלות ברדיוס המקורי. תוספת השטח היא π((r + t)² − r²), והיא תלויה גם ברדיוס המקורי. משווים לפני ואחרי ולא מניחים שכל הגידולים שווים.

דוגמה: לשני עיגולים רדיוסים 2 ו־5 ס״מ. מגדילים כל רדיוס בסנטימטר אחד. השוו את התוספות.

  1. בראשון תוספת ההיקף 6π − 4π = 2π; בשני 12π − 10π = 2π ס״מ.
  2. תוספת השטח בראשון 9π − 4π = 5π סמ״ר.
  3. תוספת השטח בשני 36π − 25π = 11π סמ״ר.
  4. אותה תוספת לרדיוס נותנת תוספת היקף שווה, אבל תוספת שטח גדולה יותר לעיגול הגדול.

תרגול מודרך

מוסיפים 2 ס״מ לרדיוס מעגל כלשהו. מה תוספת ההיקף?

  • 2π ס״מ
  • 4π ס״מ
  • תלויה ברדיוס המקורי

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

רדיוס גדל מ־4 ל־6 ס״מ. מה תוספת השטח?

  • 4π סמ״ר
  • 2π סמ״ר
  • 20π סמ״ר

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

5. מגרש מעוגל: חילוץ אורך מתוך היקף

צורת אצטדיון מורכבת ממלבן ושני חצאי עיגולים הצמודים לשתי צלעות נגדיות קצרות. שני חצאי העיגולים יחד נותנים עיגול שלם. אם אורך החלק הישר הוא L ורדיוס הקצוות r, ההיקף 2L + 2πr והשטח 2rL + πr².

דוגמה: רוחב מגרש בצורת אצטדיון 6 מ׳ והיקפו 20 + 6π מ׳. מה אורך כל חלק ישר ומה השטח?

  1. רדיוס הקצוות r = = 3 מ׳.
  2. 2L + 6π = 20 + 6π, לכן 2L = 20 ו־L = 10 מ׳.
  3. שטח המלבן 6 × 10 = 60 מ״ר; הקצוות יחד 9π מ״ר.
  4. שטח כולל 60 + 9π מ״ר. האורך הכולל מקצה לקצה הוא 16 מ׳, אך אינו אורך צלע המלבן.

תרגול מודרך

מגרש כזה ברוחב 4 מ׳ ובאורך חלק ישר 7 מ׳. מה היקפו?

  • 14 + 4π מ׳
  • 22 + 4π מ׳
  • 14 + 8π מ׳

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

רוחב מגרש כזה 8 מ׳ ושטחו 80 + 16π מ״ר. מה אורך החלק הישר?

  • 18 מ׳
  • 10 מ׳
  • 5 מ׳

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

בדיקה עצמית

הסבירו את דרך הפתרון ובדקו את התוצאה מול הנתונים והתנאים המקוריים. אפשר לפתוח משוב ורמזים ביחידה המקוונת.