קליק · תרגול והעמקה בחטיבת הביניים

מעגל ועיגול: היקף ושטח · תרגול והעמקה

מחברים קשתות וקטעים, מחסרים שטחים, פותרים נתון הפוך ומסבירים השפעה של שינוי קנה מידה.

תרגול והעמקה בחטיבה · מיפוי פדגוגי לחטיבת הביניים על בסיס תוכנית החטיבה; ההרחבות מסומנות לפי מוכנות. אין כאן אימות מלא לכל החרגות תוכנית תשפ״ז. הרמות הן עומק למידה, לא מספר יחידות בתיכון. מחברים קשתות וקטעים, מחסרים שטחים, פותרים נתון הפוך ומסבירים השפעה של שינוי קנה מידה.

יחידת לימוד עד כיתה ט׳, עם הרחבות מסומנות לבחירה. הרמות הן של קליק; הן אינן מסלולי בגרות או אישור לכיסוי מלא של תוכנית שנתית.

https://klikedu.app/learn/circles-measurement?target=4

לפני שמתחילים

1. חצי עיגול: השפה כוללת גם קוטר

חצי עיגול מתקבל מחיתוך עיגול לאורך קוטר. שטחו חצי משטח העיגול: . אורך הקשת המעוגלת הוא πr, אך היקף חצי העיגול כולל גם את הקוטר הישר: P = πr + 2r.

דוגמה: מהם השטח וההיקף של חצי עיגול שרדיוסו 4 ס״מ?

  1. שטח: π × = 8π סמ״ר.
  2. הקשת היא חצי היקף: 2π × = 4π ס״מ.
  3. מוסיפים את הקוטר 8: ההיקף הוא 4π + 8 ס״מ.

תרגול מודרך

מה היקף חצי עיגול שקוטרו 10 ס״מ?

  • 5π ס״מ
  • 5π + 10 ס״מ
  • 10π + 10 ס״מ

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

מה שטח רבע עיגול שרדיוסו 6 ס״מ?

  • 9π סמ״ר
  • 3π סמ״ר
  • 18π סמ״ר

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

2. צורה מורכבת: מה פנימי ומה חיצוני?

בצורה המורכבת מחלקים שאינם חופפים, מחברים שטחים. לחישוב היקף עוקבים רק אחרי השפה החיצונית: קו החיבור הפנימי אינו חלק מההיקף. חצי עיגול הצמוד לצלע מלבן מחליף בשפה את הצלע שעליה הוצמד.

דוגמה: מלבן ברוחב 6 ס״מ ובגובה 8 ס״מ. לצלע העליונה מוצמד מבחוץ חצי עיגול שקוטרו 6 ס״מ. מצאו שטח והיקף.

  1. שטח המלבן: 6 × 8 = 48 סמ״ר; רדיוס חצי העיגול 3.
  2. שטח כולל: 48 + π × = 48 + 4.5π סמ״ר.
  3. השפה החיצונית כוללת תחתית 6, שתי צלעות 8 וקשת 3π.
  4. היקף: 6 + 8 + 8 + 3π = 22 + 3π ס״מ; קו החיבור באורך 6 אינו נספר.
מלבן 6 על 8 וחצי עיגול חיצוני מעל צלע 6; קו החיבור מקווקו, רדיוס 3.
מלבן 6 על 8 וחצי עיגול חיצוני מעל צלע 6; קו החיבור מקווקו, רדיוס 3.

התרשים מתייחס לנתוני הדוגמה הפתורה; משתמשים בנתונים הכתובים ולא מודדים את התמונה.

תרגול מודרך

למלבן 4 על 7 ס״מ מוצמד מבחוץ חצי עיגול על צלע באורך 4. מה השטח הכולל?

  • 28 + 2π סמ״ר
  • 28 + 4π סמ״ר
  • 28 + 8π סמ״ר

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

לאותה צורה, מלבן 4 על 7 וחצי עיגול על צלע 4, מה ההיקף?

  • 22 + 2π ס״מ
  • 18 + 2π ס״מ
  • 18 + 4π ס״מ

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

3. טבעת: ההפרש בין שני שטחים

טבעת נוצרת מהסרת עיגול קטן מתוך עיגול גדול בעל אותו מרכז. שטחה πR² − πr² = π(R² − r²), כאשר R הוא הרדיוס החיצוני ו־r הפנימי. רוחב הטבעת הוא R − r, אך π(R − r)² אינו שטח הטבעת.

דוגמה: רדיוס חיצוני של טבעת 5 ס״מ ופנימי 3 ס״מ. מה שטחה?

  1. שטח העיגול הגדול 25π סמ״ר.
  2. שטח החור 9π סמ״ר.
  3. מחסרים: 25π − 9π = 16π סמ״ר. רוחב 2 ס״מ אינו רדיוס של עיגול שמייצג את הטבעת.

תרגול מודרך

טבעת ברדיוסים 6 ו־4 ס״מ: מה השטח?

  • 4π סמ״ר
  • 20π סמ״ר
  • 10π סמ״ר

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

רדיוס פנימי של טבעת 2 ס״מ ורוחבה 3 ס״מ. מה שטחה?

  • 5π סמ״ר
  • 9π סמ״ר
  • 21π סמ״ר

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

4. מנתון אחד מחשבים גודל אחר

היקף ושטח תלויים באותו רדיוס. כשמבקשים שטח מתוך היקף, מוצאים תחילה את הרדיוס ואז מציבים בנוסחת השטח. אין להעלות את ההיקף עצמו בריבוע במקום את הרדיוס.

דוגמה: היקף מעגל הוא 16π ס״מ. מה שטח העיגול?

  1. 2πr = 16π ולכן r = 8 ס״מ.
  2. A = π × 8² = 64π סמ״ר.
  3. בדיקה: הרדיוס 8 מחזיר היקף 16π; השטח מסומן ביחידה מרובעת.

תרגול מודרך

שטח עיגול 36π סמ״ר. מה היקפו?

  • 6π ס״מ
  • 12π ס״מ
  • 36π ס״מ

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

היקף מעגל 10π מ׳. מה שטחו?

  • 100π מ״ר
  • 20π מ״ר
  • 25π מ״ר

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

5. כפל רדיוס אינו כפל זהה של שטח

אם הרדיוס מוכפל פי k, ההיקף מוכפל פי k והשטח פי k². הסיבה: בנוסחת ההיקף הרדיוס מופיע פעם אחת, ובשטח הוא מוכפל בעצמו. הכלל תקף גם להקטנה כאשר 0 < k < 1.

דוגמה: מגדילים רדיוס מ־3 ל־9 ס״מ. כיצד משתנים ההיקף והשטח?

  1. גורם ההגדלה הוא = 3.
  2. ההיקף משתנה מ־6π ל־18π, כלומר פי 3.
  3. השטח משתנה מ־9π ל־81π, כלומר פי 9 = 3².

תרגול מודרך

רדיוס הוקטן לחצי. מה קרה לשטח?

  • הוקטן לחצי
  • הוקטן לרבע
  • לא השתנה

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

שטח עיגול גדל פי 16. פי כמה גדל ההיקף?

  • פי 4
  • פי 8
  • פי 16

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

בדיקה עצמית

הסבירו את דרך הפתרון ובדקו את התוצאה מול הנתונים והתנאים המקוריים. אפשר לפתוח משוב ורמזים ביחידה המקוונת.