קליק · תרגול והעמקה בחטיבת הביניים

שטחים והיקפים: גובה, פירוק והמרת יחידות

מנמקים נוסחאות, פותרים בעיות הפוכות ומבחינים בין חיתוך פינתי למגרעת. זהו מסלול למידה מותאם לנושא, ולא הצהרה על כיסוי מלא של תוכנית שנתית.

תרגול והעמקה בחטיבה · יסודות ויישומים בחטיבת הביניים. מסלול האתגר מוסיף הכללה והנמקה לפי מוכנות; אין לייחס את כל ההרחבות כחובה לכל כיתה. מסלול זה משלב מיומנויות; בדקו את הידע הקודם לפני שמתחילים.

יחידת לימוד עד כיתה ט׳, עם הרחבות מסומנות לבחירה. הרמות הן של קליק; הן אינן מסלולי בגרות או אישור לכיסוי מלא של תוכנית שנתית.

https://klikedu.app/learn/areas-perimeters?target=4

לפני שמתחילים

1. שני בסיסים וגובה מאונך אחד

בטרפז הבסיסים הם שתי הצלעות המקבילות; הגובה הוא המרחק המאונך ביניהן. חיבור שני טרפזים חופפים יוצר מקבילית שבסיסה a+b וגובהה h, ולכן S=(a+b). השוק המשופעת אינה מחליפה את h. במקבילית השטח bh: גזירת משולש מצד אחד והעברתו לצד השני יוצרת מלבן בלי לשנות שטח.

דוגמה: לטרפז בסיסים10 ו־4 ס״מ וגובה3 ס״מ. מצאו שטח, ואז הסבירו מדוע אורכי השוקיים אינם נחוצים.

  1. סכום הבסיסים14 ס״מ;14×=21 סמ״ר.
  2. שני העותקים יוצרים מקבילית בשטח42 סמ״ר, ולכן כל עותק21.
  3. הגובה קובע את המרחק בין הבסיסים. אפשר לשנות את הנטייה וההזחה בלי לשנות בסיסים או גובה, ולכן בלי לשנות את השטח.
  4. למציאת היקף כן נזדקק גם לאורכי השוקיים.

תרגול מודרך

טרפז עם בסיסים12 ו־8 וגובה5 ס״מ: מה שטחו?

  • 50 סמ״ר
  • 100 סמ״ר
  • 25 סמ״ר

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

מקבילית: בסיס9 ס״מ, גובה אליו4 ס״מ ושוק5 ס״מ. מה השטח?

  • 45 סמ״ר
  • 36 סמ״ר
  • 18 סמ״ר

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

2. מנתון שטח אל מידה חסרה

כאשר השטח ידוע, מציבים בנוסחה ופותרים משוואה. כל כפל או חילוק נעשה בשני האגפים. העברת אגף ושינוי סימן היא קיצור לחיסור אותו ביטוי משני האגפים. בסיום בודקים שהמידה חיובית ושבהצבה חוזרת מתקבל השטח המקורי. פתרון אלגברי שאינו אורך חיובי אינו פתרון גאומטרי.

דוגמה: שטח טרפז30 סמ״ר, גובהו4 ס״מ ובסיס אחד8 ס״מ. מצאו את הבסיס השני b.

  1. מציבים:30=(8+b)×=2(8+b).
  2. מחלקים את שני האגפים ב־2:15=8+b.
  3. מעבירים את8 אגף ומשנים סימן, כלומר מחסרים8 משני האגפים: b=15−8=7 ס״מ.
  4. בדיקה: (8+7)×=30 סמ״ר, ו־b חיובי.

תרגול מודרך

שטח טרפז42 סמ״ר, גובה6 ובסיס אחד9 ס״מ. מה הבסיס השני?

  • 7 ס״מ
  • 5 ס״מ
  • 14 ס״מ

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

שטח טרפז10 סמ״ר, גובה5 ובסיס אחד6 ס״מ. האם קיים טרפז כזה?

  • כן; הבסיס השני2 ס״מ
  • כן; הבסיס השני4 ס״מ
  • לא; הבסיס השני היה −2 ס״מ

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

3. מגרעת באמצע משנה את ההיקף

מגרעת מלבנית הנחתכת באמצע צלע שונה מחיתוך בפינה. קטע ברוחב w מוסר מן הגבול, אך נוסף קטע ברוחב w ושני עומקים d. לכן ההיקף גדל ב־2d, בעוד השטח קטן ב־wd. מניחים שהמגרעת אינה נוגעת בפינות ושעומקה קטן מגובה המלבן, כדי שהצורה תישאר מחוברת.

דוגמה: ממלבן12 על8 ס״מ חותכים באמצע הצלע העליונה מגרעת ברוחב4 ובעומק3 ס״מ. חשבו שטח והיקף.

  1. השטח המקורי96 סמ״ר; מסירים4×3=12, ונשאר84 סמ״ר.
  2. ההיקף המקורי40 ס״מ. מוסר קטע4, ומתווספים4+3+3=10.
  3. ההיקף החדש40−4+10=46 ס״מ, כלומר גדל ב־6=2×3.
  4. הנוסחה הזאת אינה נוסחת חיתוך פינתי: במגרעת נוספו שני קטעי עומק.
מגרעת באמצע: שני קטעי עומק חדשים128343ABCDEFGH
מגרעת באמצע: שני קטעי עומק חדשים

כל המידות בס״מ. נתון מלבן חיצוני12 על8 ומגרעת מלבנית ברוחב EF=4 ובעומק DE=FG=3. הקטע המקווקו GD הוסר מהגבול; שני קטעי העומק DE ו־FG נוספו. המגרעת אינה נוגעת בפינות. השטח שנותר84 סמ״ר וההיקף46 ס״מ מחושבים בדוגמה, ואינם נתונים נוספים.

תרגול מודרך

מגרעת אמצעית ברוחב2 ועומק5 נחתכת ממלבן14 על9 ס״מ. מה ההיקף החדש?

  • 50 ס״מ
  • 46 ס״מ
  • 56 ס״מ

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

למלבן20 על10 ס״מ נחתכת מגרעת אמצעית ברוחב6 ועומק4. מה השטח שנותר?

  • 176 סמ״ר
  • 192 סמ״ר
  • 68 ס״מ

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

4. המרת שטח משנה שני כיוונים

לפני חיבור או כפל אורכים מאחדים יחידות. מטר אחד הוא100 ס״מ, אבל מטר רבוע הוא ריבוע100 על100 ס״מ, ולכן1 מ״ר=10,000 סמ״ר. גורם ההמרה בריבוע נובע משני כיווני האורך. אפשר להמיר את כל האורכים תחילה או להמיר את השטח בסוף; שתי הדרכים חייבות להסכים.

דוגמה: מלבן אורכו1.2 מטר ורוחבו50 ס״מ. חשבו שטח במ״ר והיקף במטרים.

  1. ממירים50 ס״מ ל־0.5 מטר.
  2. שטח:1.2×0.5=0.6 מ״ר. היקף:2(1.2+0.5)=3.4 מטר.
  3. בדיקה בס״מ:120×50=6,000 סמ״ר; מחלקים ב־10,000 ומקבלים0.6 מ״ר.
  4. בהיקף340 ס״מ מחלקים רק ב־100 ומקבלים3.4 מטר.

תרגול מודרך

כמה סמ״ר הם0.08 מ״ר?

  • 800 סמ״ר
  • 8 סמ״ר
  • 80 סמ״ר

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

משולש בסיסו80 ס״מ וגובהו0.3 מטר. מה שטחו במ״ר?

  • 12 מ״ר
  • 0.12 מ״ר
  • 0.24 מ״ר

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

בדיקה עצמית

הסבירו את דרך הפתרון ובדקו את התוצאה מול הנתונים והתנאים המקוריים. אפשר לפתוח משוב ורמזים ביחידה המקוונת.