קליק · בסיס מודרך בחטיבת הביניים

שטחים והיקפים: מדידה וצורות מורכבות

מבחינים בין גבול לפנים, בונים נוסחאות ומחשבים צורות מורכבות בהדרגה. זהו מסלול למידה מותאם לנושא, ולא הצהרה על כיסוי מלא של תוכנית שנתית.

יסודות בחטיבה · יסודות ויישומים בחטיבת הביניים. מסלול האתגר מוסיף הכללה והנמקה לפי מוכנות; אין לייחס את כל ההרחבות כחובה לכל כיתה. מסלול זה בונה את היסודות בצעדים מודרכים.

יחידת לימוד עד כיתה ט׳, עם הרחבות מסומנות לבחירה. הרמות הן של קליק; הן אינן מסלולי בגרות או אישור לכיסוי מלא של תוכנית שנתית.

https://klikedu.app/learn/areas-perimeters?target=3

לפני שמתחילים

1. היקף סופר אורך; שטח סופר ריבועים

היקף הוא אורך המסלול לאורך כל גבול הצורה. שטח מודד את הפנים באמצעות ריבועי יחידה. במלבן שאורכו a ורוחבו b יש שתי צלעות מכל סוג: P=2a+2b. בריצוף בריבועים, בכל שורה a יחידות ויש b שורות, ולכן S=ab. ס״מ היא יחידת אורך; סמ״ר הוא שטח של ריבוע שצלעו1 ס״מ. מספרים שווים עם יחידות שונות אינם אותה מדידה.

דוגמה: מלבן אורכו6 ס״מ ורוחבו4 ס״מ. כמה סרט דרוש לגבול וכמה שטח הוא מכסה?

  1. הסרט עובר בארבע הצלעות: 6+4+6+4=20 ס״מ.
  2. לשטח סופרים4 שורות של6 ריבועי יחידה: 6×4=24 סמ״ר.
  3. לא מחברים את20 ואת24: הם מודדים גדלים מסוגים שונים.
  4. בודקים יחידות: חיבור אורכים נשאר בס״מ; מכפלת שני אורכים נותנת סמ״ר.

תרגול מודרך

במלבן5 ס״מ על3 ס״מ, מה ההיקף?

  • 16 ס״מ
  • 15 סמ״ר
  • 8 ס״מ

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

ריבוע שצלעו7 ס״מ: מה שטחו?

  • 28 ס״מ
  • 49 סמ״ר
  • 14 סמ״ר

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

2. אותו היקף, שטחים שונים

היקף אינו קובע לבדו את השטח. שינוי צלע אחת ושינוי הפוך בצלע הסמוכה יכולים להשאיר את סכום הצלעות קבוע, אבל המכפלה משתנה. לכן לא בוחרים נוסחה רק לפי המספרים הנתונים: מזהים אם מבוקש אורך גבול או שטח פנים. בשאלת מלבן עם היקף ידוע, מחלקים קודם את ההיקף ב־2 כדי לקבל סכום שתי צלעות סמוכות.

דוגמה: לשני מלבנים היקף20 ס״מ. הראשון8 על2 והשני6 על4. השוו שטחים.

  1. בשניהם סכום שתי צלעות סמוכות10, ולכן ההיקף2×10=20 ס״מ.
  2. שטח הראשון8×2=16 סמ״ר; שטח השני6×4=24 סמ״ר.
  3. לכן היקף שווה אינו מחייב שטח שווה.
  4. אם ההיקף20 וצלע אחת3, אז הצלע הסמוכה10−3=7, ולא20−3.

תרגול מודרך

היקף מלבן24 ס״מ וצלע אחת5 ס״מ. מה הצלע הסמוכה?

  • 19 ס״מ
  • 7 ס״מ
  • 12 ס״מ

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

מלבנים9 על1 ו־5 על5, במידות ס״מ: מה נכון?

  • גם ההיקפים וגם השטחים שווים
  • השטחים שווים וההיקפים שונים
  • ההיקפים שווים והשטחים שונים

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

3. גובה הוא המרחק המאונך לבסיס

גובה לבסיס הוא קטע מאונך לישר שעליו הבסיס, מן הקודקוד שמולו. צלע משופעת אינה בהכרח גובה. שני עותקים חופפים של משולש יוצרים מקבילית בעלת אותו בסיס ואותו גובה; שטח המקבילית הוא בסיס כפול גובה. לכן שטח המשולש הוא S=. החלוקה ב־2 אינה משנה את יחידת השטח. גם אם הגובה נופל על המשך הבסיס, הנוסחה נשארת תקפה.

דוגמה: במשולש בסיס8 ס״מ וגובה אליו3 ס״מ. מה השטח?

  1. מזהים זוג מתאים: הגובה3 מאונך דווקא לבסיס8.
  2. שטח המקבילית המתאימה8×3=24 סמ״ר.
  3. המשולש הוא חצי ממנה:=12 סמ״ר.
  4. אם נבחר בסיס אחר, צריך את הגובה המתאים לו; אין לערבב בסיס וגובה לא מתאימים.

תרגול מודרך

בסיס משולש10 ס״מ וגובה אליו6 ס״מ. מה השטח?

  • 60 סמ״ר
  • 16 ס״מ
  • 30 סמ״ר

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

שטח משולש18 סמ״ר ובסיסו9 ס״מ. מה הגובה לבסיס זה?

  • 4 ס״מ
  • 2 ס״מ
  • 6 ס״מ

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

4. שטח מחסרים; היקף עוקבים לאורך הגבול

אפשר לחשב שטח צורה על ידי חלוקה לחלקים שאינם חופפים, או החסרת חלק חסר ממלבן שלם. בהיקף, לעומת זאת, סופרים רק קטעים שעל הגבול החיצוני. קו עזר בתוך הצורה אינו מתווסף להיקף. כשחותכים מלבן מפינה, שני הקטעים שנגרעו מהגבול מוחלפים בשני קטעים באותם אורכים, ולכן ההיקף עשוי להישאר קבוע אף שהשטח קטן.

דוגמה: ממלבן8 על6 ס״מ מסירים מלבן3 על2 ס״מ מהפינה הימנית העליונה. מצאו שטח והיקף של צורת ה־L שנותרה.

  1. שטח המלבן השלם48 סמ״ר; השטח שהוסר6 סמ״ר, ולכן נשאר42 סמ״ר.
  2. לאורך הגבול:8,4,3,2,5,6 ס״מ. סכומם28 ס״מ.
  3. אפשר גם להסביר: מההיקף המקורי28 הוסרו3+2 ונוספו3+2, ולכן לא השתנה.
  4. אין להוסיף את כל היקף המלבן החסר: רק הקטעים שנחשפו נעשו גבול.
חיתוך מפינה: שטח חסר וגבול חדש843256ABCDEFG
חיתוך מפינה: שטח חסר וגבול חדש

כל המידות בס״מ. נתון מלבן חיצוני8 על6 וחיתוך פינתי3 על2. הגבול של הצורה שנותרה מצויר בקו רציף; הקווים המקווקווים משלימים רק את המלבן שהוסר ואינם חלק מההיקף. האורכים BC=4 ו־EF=5 מתקבלים בחיסור מן הנתונים.

תרגול מודרך

ממלבן10 על7 מסירים מפינה מלבן2 על3, כל המידות בס״מ. מה השטח שנותר?

  • 64 סמ״ר
  • 70 סמ״ר
  • 34 ס״מ

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

באותו חיתוך מפינה במלבן10 על7 ס״מ, מה ההיקף שנותר?

  • 44 ס״מ
  • 34 ס״מ
  • 24 ס״מ

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

בדיקה עצמית

הסבירו את דרך הפתרון ובדקו את התוצאה מול הנתונים והתנאים המקוריים. אפשר לפתוח משוב ורמזים ביחידה המקוונת.