קליק · אתגר והכללה בחטיבת הביניים

זוויות וישרים: פרמטרים והוכחת קשרים

בודקים אילו ערכי פרמטר אפשריים, מוכיחים קשרי חוצי זוויות ומפרידים בין תנאי מספיק להנחה. זהו מסלול מותאם בנושא, ולא כיסוי מלא של תוכנית הלימודים השנתית.

הרחבה לבחירה · יסודות ויישומים בחטיבת הביניים. מסלול האתגר מוסיף הכללה והנמקה לפי מוכנות; אין לייחס את כל ההרחבות כחובה לכל כיתה. מסלול זה הוא אתגר והכללה לבחירה לפי מוכנות.

יחידת לימוד עד כיתה ט׳, עם הרחבות מסומנות לבחירה. הרמות הן של קליק; הן אינן מסלולי בגרות או אישור לכיסוי מלא של תוכנית שנתית.

https://klikedu.app/learn/angles-parallels?target=5

לפני שמתחילים

1. פרמטר: תחום זוויות קודם למקבילות

במשפחה של ציורים פרמטר יכול לשנות את מידות הזוויות. תחילה דורשים שכל זווית חיתוך תהיה בין 0° ל־180° בלי הקצוות; אחרת אין חיתוך מן הסוג המתואר. רק אחר כך מטילים תנאי שיבטיח מקבילות. פתרון שמקיים משוואת זוויות אך אינו בתחום אינו יוצר ציור תקף. המקרים כאן כוללים חותך הפוגש שני ישרים שונים בנקודות שונות, בלי להתלכד איתם.

דוגמה: זוויות מתאימות בשני חיתוכים הן α=2t+20 ו־β=140−t מעלות. מה תחום t שבו שתיהן זוויות תקפות, ובאיזה ערך הישרים מקבילים?

  1. מ־0<2t+20<180 מקבלים−10<t<80. מ־0<140−t<180 מקבלים−40<t<140.
  2. שני התנאים יחד נותנים−10<t<80. זהו תחום התקפות, לא תחום המקבילות.
  3. מקבילות מתקבלת אם ורק אם המתאימות שוות:2t+20=140−t. בהעברת אגפים 3t=120 ולכן t=40.
  4. t=40 בתחום ושתי הזוויות 100°. לכל t אחר בתחום הן שונות, ולכן הישרים אינם מקבילים.

תרגול מודרך

ישר חותך שני ישרים שונים בנקודות שונות. זוויות מתאימות הן t+30 ו־3t−10 מעלות, וכל אחת צריכה להיות בין 0° ל־180°. איזה t נותן מקבילות תקפה?

  • t=20
  • t=0
  • t=60

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

ישר חותך שני ישרים שונים בנקודות שונות. זוויות מתאימות הן t+150 ו־2t+120 מעלות. האם אפשר שהישרים מקבילים בחיתוך תקף?

  • כן, t=30
  • לא; ערך השוויון t=30 נותן 180°
  • כן, t=0

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

2. חוצי זוויות צמודות מאונכים

חוצה זווית הוא קרן היוצאת מהקודקוד ומחלקת את הזווית לשתי זוויות שוות. נבחן שתי זוויות צמודות לא־שטוחות, שחוציהן נמצאים בתוך כל אחת מהן. אם מידות הזוויות α ו־β, אז α+β=180°. הזווית שבין שני החוצים, העוברת דרך השוק המשותפת, היא +==90°. זו הוכחה לכל זוג כזה, ולא רק דוגמה מספרית.

דוגמה: A,O,B על ישר בסדר הזה. הקרן OC נמצאת בצד אחד של הישר. ∠AOC=64°, והקרניים OP,OQ חוצות את ∠AOC ואת ∠COB, בהתאמה. מצאו ∠POQ.

  1. הזוויות צמודות, לכן ∠COB=180°−64°=116°.
  2. OP בתוך ∠AOC ומחלקת אותה, ולכן ∠POC=32°.
  3. OQ בתוך ∠COB ומחלקת אותה, ולכן ∠COQ=58°.
  4. OC נמצאת בין שני החוצים בתוך אותו חצי מישור. לכן ∠POQ=32°+58°=90°, והחוצים מאונכים.
חוצי זוויות צמודות יוצרים זווית ישרה64°116°90°AOBCPQ
חוצי זוויות צמודות יוצרים זווית ישרה

נתון: A,O,B על ישר, ∠AOC = 64°, ו־OP,OQ הם החוצים הפנימיים של ∠AOC ושל ∠COB. מחושב: ∠COB = 116°; מחציות הזוויות הן 32° ו־58°. הריבוע מסמן את המסקנה ∠POQ = 90°, שהוכחה מחיבור המחציות, ואינו נתון מוקדם.

תרגול מודרך

שתי זוויות צמודות הן α ו־180°−α, עם 0°<α<180°. מה הזווית שבין חוציהן הפנימיים?

  • α°
  • 90°
  • 180°

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

שתי זוויות סמוכות, ללא חפיפה ובעלות שוק משותפת, הן 50° ו־70°. חוציהן פנימיים. מה הזווית בין החוצים העוברת דרך השוק המשותפת?

  • 90°
  • 120°
  • 60°

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

3. מאונכות ומקבילות: שרשרת נימוקים

אם ישר חותך שני ישרים מקבילים ומאונך לאחד מהם, הוא מאונך גם לשני: זווית של 90° מתאימה לזווית של 90°. בכיוון ההפוך, אם שני ישרים שונים באותו מישור מאונכים לאותו ישר בנקודות שונות, הזוויות המתאימות של החותך שוות 90°, ולכן שני הישרים מקבילים. חייבים לציין אותו מישור וישרים שונים; אין מדובר בטענה כללית על ישרים במרחב.

דוגמה: במישור, l ו־m שונים ומאונכים לישר n בנקודות שונות. ישר t חותך את l ואת m. באחד החיתוכים עם t זווית 75°. מה אפשר להסיק על זווית מתאימה בחיתוך השני?

  1. ל־n זווית 90° עם l וגם עם m. אלה זוויות מתאימות שוות כאשר n חותך אותם.
  2. לפי המשפט ההפוך למתאימות, l מקביל ל־m.
  3. כעת t הוא חותך של שני המקבילים, ולכן הזווית המתאימה ל־75° שווה 75°.
  4. 75° אינו 90°: מהמאונכות ל־n לא נובעת מאונכות ל־t. לכל מסקנה דרוש הנימוק המתאים.

תרגול מודרך

במישור l∥m. הישר n חותך את שניהם, ובמפגש עם l זווית 90°. מה נובע?

  • n מקביל ל־m
  • אין אפשרות לקבוע זווית במפגש השני
  • n מאונך גם ל־m

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

במישור שני ישרים שונים מאונכים לאותו ישר בנקודות שונות. מה היחס ביניהם?

  • מקבילים
  • מאונכים זה לזה
  • נחתכים בזווית 45°

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

4. תנאים יחד: מתי שוויון והשלמה מחייבים 90°?

לזוג זוויות α,β המקיים גם α=β וגם α+β=180° מתקבל 2α=180°, ולכן שתיהן 90°. צריך להצדיק בנפרד כל אחד משני התנאים. למשל אם חותך פוגש שני מקבילים, המתאימות שוות; אם נוסף נתון שסכומן 180°, החותך מאונך לשניהם. סכום 180° לבדו עבור זוויות מתאימות אינו מוכיח מקבילות: הזוויות עשויות להיות 60° ו־120°.

דוגמה: חותך t פוגש שני ישרים l,m בנקודות שונות. נתון l∥m, ונתון שסכום זוג זוויות מתאימות α,β הוא 180°. הוכיחו ש־t מאונך לשני הישרים.

  1. מן המקבילות נובע α=β, כי הזוג מתאים.
  2. מהנתון הנוסף α+β=180°. מציבים β=α:2α=180°.
  3. מחלקים ב־2: α=90° וגם β=90°. לכן t מאונך ל־l ול־m.
  4. בלי נתון המקבילות אי אפשר להסיק כך מסכום מתאימות בלבד. הזוג 60°,120° משלים ל־180° אבל אינו שווה.

תרגול מודרך

שתי זוויות חד־צדדיות פנימיות בין מקבילים שוות זו לזו. מה מידת כל אחת?

  • 90°
  • 180°
  • 45°

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

חותך פוגש שני ישרים בנקודות שונות. זוויות מתאימות הן 60° ו־120°. האם סכומן 180° מוכיח מקבילות?

  • כן, כל זוג שסכומו 180° מוכיח מקבילות
  • לא; הזוויות המתאימות שונות, ולכן הישרים אינם מקבילים
  • כן, מפני ששתי הזוויות חיוביות

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

בדיקה עצמית

הסבירו את דרך הפתרון ובדקו את התוצאה מול הנתונים והתנאים המקוריים. אפשר לפתוח משוב ורמזים ביחידה המקוונת.