קליק · מתמטיקה

זוויות וישרים מקבילים

מתחילים במהי זווית ובחוצה זווית, ממשיכים לצמודות וקודקודיות, ואז למתאימות ומתחלפות בין מקבילים.

https://klikedu.app/learn/angles-parallels

1. זווית מודדת פתיחה

קרן היא חלק מישר שיש לו נקודת התחלה והוא נמשך ללא סוף בכיוון אחד. זווית נוצרת משתי קרניים בעלות נקודת התחלה משותפת, הנקראת קודקוד. הקרניים נקראות גם שוקי הזווית. מידת הזווית מתארת את הסיבוב מקרן אחת לאחרת ונמדדת במעלות, המסומנות °. הארכת הקרניים בציור אינה משנה את כיוונן, ולכן אינה משנה את הזווית.

דוגמה: מציירים זווית של 40° ומאריכים את שתי קרניה. מה מידתה עכשיו?

  1. הקרניים ארוכות יותר, אבל כיווניהן לא השתנו.
  2. הפתיחה ביניהן נשארה אותה פתיחה.
  3. מידת הזווית עדיין 40°.

תרגול מודרך

איך נקראת נקודת ההתחלה המשותפת לשתי קרני זווית?

  • בסיס
  • קודקוד
  • אמצע

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

קרני זווית של 65° הוכפלו באורכן בציור. מה המידה החדשה?

  • 130°
  • 32.5°
  • 65°

תשובה: __________________________________________________

2. זווית חדה קטנה מרבע סיבוב

זווית חדה גדולה מ־0° וקטנה מ־90°. הגבולות אינם כלולים: זווית של 90° כבר נקראת ישרה. כדי לסווג זווית לפי מספר, משווים אותו לגבולות ולא מסתמכים על אורך הקווים או על כיוון הציור.

α
זווית חדה: 0° < α < 90°.

דוגמה: האם זווית של 35° חדה?

  1. 35° גדול מ־0°.
  2. 35° קטן מ־90°.
  3. שני התנאים מתקיימים, ולכן זו זווית חדה.

תרגול מודרך

איזו זווית חדה?

  • 75°
  • 90°
  • 120°

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

זווית של 89° היא איזו זווית?

  • ישרה
  • חדה
  • קהה

תשובה: __________________________________________________

3. זווית ישרה שווה בדיוק ל־90°

זווית ישרה היא רבע סיבוב מלא, ומידתה בדיוק 90°. מקובל לסמן אותה בריבוע קטן ליד הקודקוד. הסימן אינו אומר שהצלעות שוות באורכן; הוא מציין רק את הפתיחה. ישרים שנפגשים בזווית כזאת נקראים מאונכים.

90°
זווית ישרה: 90°.

דוגמה: במפגש שני ישרים מסומן ריבוע קטן. מה אפשר להסיק?

  1. הריבוע הוא סימון של זווית ישרה.
  2. מידת הזווית המסומנת היא 90°.
  3. הישרים מאונכים; לא נובע מכך שקטעים עליהם שווים.

תרגול מודרך

כמה מעלות בזווית ישרה?

  • 180°
  • 45°
  • 90°

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

זווית היא 91°. האם היא ישרה?

  • לא, ישרה היא בדיוק 90°
  • כן, כי היא קרובה ל־90°
  • כן, אם הקרניים קצרות

תשובה: __________________________________________________

4. זווית קהה נמצאת בין 90° ל־180°

זווית קהה גדולה מזווית ישרה וקטנה מזווית שטוחה: 90° < α < 180°. האות היוונית α, אלפא, מייצגת כאן את מידת הזווית. גם כאן הגבולות אינם כלולים. סיווג זה מתייחס למידת הפתיחה בלבד, ולכן סיבוב השרטוט כולו לא הופך זווית קהה לחדה.

α
זווית קהה: 90° < α < 180°.

דוגמה: סווגו זווית של 120°.

  1. 120° גדול מ־90°.
  2. 120° קטן מ־180°.
  3. לכן זו זווית קהה.

תרגול מודרך

איזו זווית קהה?

  • 60°
  • 110°
  • 180°

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

זווית של 179° היא איזו זווית?

  • ישרה
  • שטוחה
  • קהה

תשובה: __________________________________________________

5. חצי סיבוב וסיבוב שלם

זווית שטוחה נוצרת מקרניים מנוגדות על אותו ישר, ומידתה 180°. זו מחצית מסיבוב מלא של 360°. המספרים האלה מתארים שלם שאליו אפשר להשלים זוויות קטנות יותר; צריך לזהות אם השלם הוא ישר או סיבוב מלא סביב נקודה.

180°
זווית שטוחה: 180°.

דוגמה: כמה מעלות יש בחצי סיבוב?

  1. סיבוב מלא הוא 360°.
  2. מחלקים בשתיים: 360°/2 = 180°.
  3. חצי סיבוב הוא זווית שטוחה.

תרגול מודרך

שתי קרניים מנוגדות יוצרות ישר. מה הזווית ביניהן?

  • 180°
  • 90°
  • 360°

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

כמה מעלות בשני חצאי סיבוב יחד?

  • 180°
  • 360°
  • 90°

תשובה: __________________________________________________

6. חוצה זווית מחלק לשתי זוויות שוות

אחרי שמכירים את מידת הזווית, אפשר לחלק אותה. חוצה זווית הוא קרן שיוצאת מקודקוד הזווית, נמצאת בתוכה ומחלקת אותה לשתי זוויות שוות. בכתיב ∠AOB האות האמצעית O היא הקודקוד. אם OC חוצה את ∠AOB, אז ∠AOC = ∠COB. כדי למצוא כל חלק מחלקים את הזווית השלמה ב־2; כדי לחזור לשלם כופלים חלק אחד ב־2. קרן בתוך זווית אינה בהכרח חוצה זווית: צריך נתון או סימון ששני החלקים שווים.

דוגמה: הקרן OC חוצה את ∠AOB, שמידתה 80°. מה המידה של כל אחת משתי הזוויות שנוצרו?

  1. חוצה זווית יוצר שני חלקים שווים: ∠AOC = ∠COB.
  2. מחלקים את הזווית השלמה בשתיים: 80° ÷ 2 = 40°.
  3. לכן ∠AOC = 40° וגם ∠COB = 40°. בדיקה: 40° + 40° = 80°.
40°40°ABCO
נתון ש־OC חוצה את הזווית. שני החלקים שווים: 40° + 40° = 80°. החצים מסמנים קרניים שנמשכות מעבר לציור.

תרגול מודרך

חוצה זווית מחלק זווית של 100°. מה מידת כל חלק?

  • 50°
  • 100°
  • 200°

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

OC חוצה את ∠AOB. נתון ∠AOC = 28°. מה מידת הזווית השלמה ∠AOB?

  • 14°
  • 28°
  • 56°

תשובה: __________________________________________________

7. צמודות על ישר משלימות ל־180°

לזוויות צמודות יש קודקוד ושוק משותפים, ושתי השוקיים האחרות הן קרניים מנוגדות על ישר. לכן שתי הזוויות יחד יוצרות זווית שטוחה וסכומן 180°. סמיכות בלבד אינה מספיקה: אם השוקיים החיצוניות אינן יוצרות ישר, אין הצדקה לסכום הזה.

αβ
השוקיים החיצוניות יוצרות ישר. α + β = 180°.

דוגמה: זווית של 65° צמודה לזווית x על ישר. מצאו x.

  1. שתי הזוויות יחד יוצרות 180°, ולכן x + 65° = 180°.
  2. x = 180° − 65° = 115°.
  3. בדיקה: 65° + 115° = 180°.

תרגול מודרך

זווית של 35° צמודה לזווית x על ישר. מהו x?

  • 35°
  • 55°
  • 145°

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

לשתי זוויות סמוכות שוק משותפת. בלי מידע נוסף, האם סכומן בהכרח 180°?

  • לא, צריך גם שהשוקיים החיצוניות יוצרות ישר
  • כן, סמיכות מספיקה
  • כן, אם הן אינן שוות

תשובה: __________________________________________________

8. קודקודיות נמצאות זו מול זו

כששני ישרים נחתכים, הזוויות שמול זו לזו נקראות קודקודיות והן שוות. אין להן שוק משותפת, בניגוד לצמודות. אפשר להבין את השוויון כי שתיהן משלימות את אותה זווית ל־180°, ולכן לשתיהן נשאר אותו מספר מעלות.

αγ
זוויות קודקודיות שוות: α = γ.

דוגמה: שני ישרים נחתכים וזווית אחת 72°. מצאו את הקודקודית לה.

  1. מזהים את הזווית שמול הנתונה, לא את זו שלידה.
  2. זוויות קודקודיות שוות, ולכן גם היא 72°.

תרגול מודרך

במפגש שני ישרים זווית אחת 48°. מה הקודקודית לה?

  • 132°
  • 48°
  • 42°

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

במפגש שני ישרים זווית אחת 65°. מה הזווית שלידה על אותו ישר?

  • 65°
  • 25°
  • 115°

תשובה: __________________________________________________

9. חותך ומקבילים הם נתונים שונים

ישרים מקבילים נמצאים באותו מישור ואינם נפגשים גם כשממשיכים אותם. חותך הוא ישר שפוגש שני ישרים בנקודות שונות. עצם החיתוך אינו אומר ששני הישרים מקבילים. תכונות השוויון של זוויות מתאימות ומתחלפות דורשות מקבילות ידועה או מוכחת. לעומת זאת, קודקודיות וצמודות מתארות מפגש יחיד ואינן דורשות שני ישרים מקבילים.

דוגמה: בציור חותך פוגש שני ישרים שנראים מקבילים. האם המראה מספיק לשימוש במשפט המתאימות?

  1. חותך יוצר מפגשים, אך אינו מוכיח מקבילות.
  2. צריך נתון מפורש או הוכחה שהישרים מקבילים.
  3. לכן המראה בלבד אינו מספיק.

תרגול מודרך

מה צריך לבדוק לפני שמשווים זוויות מתאימות מכוח משפט המקבילים?

  • שהחותך אופקי
  • שהישרים מקבילים
  • שהזוויות חדות

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

איזה קשר נכון בכל מפגש של שני ישרים, בלי צורך במקבילים?

  • זוויות קודקודיות שוות
  • כל הזוויות שוות
  • כל הזוויות חדות

תשובה: __________________________________________________

10. מתאימות נמצאות באותו מיקום

זוויות מתאימות נמצאות באותו מיקום יחסית לחותך ולכל אחד משני הישרים. למשל, אחת מעל הישר הראשון ומימין לחותך, והשנייה מעל הישר השני ומימין לחותך. אם הישרים מקבילים, הזוויות האלה שוות, ולכן מעבירים את המידה בלי חיסור.

αα
זוויות מתאימות: אותו מיקום בכל מפגש. במקבילים הן שוות.

דוגמה: שני ישרים מקבילים נחתכים בחותך. זווית אחת 110°. מה הזווית המתאימה לה?

  1. מקבילות הישרים מאפשרת את משפט המתאימות.
  2. זוויות מתאימות בין מקבילים שוות.
  3. לכן הזווית המתאימה היא 110°.

תרגול מודרך

בין ישרים מקבילים וחותך זווית היא 68°. מה המתאימה לה?

  • 112°
  • 22°
  • 68°

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

זווית אחת מעל ישר ראשון ומימין לחותך; שנייה מעל ישר שני ומימין לאותו חותך. איזה זוג זה?

  • מתאימות
  • קודקודיות
  • חד־צדדיות פנימיות

תשובה: __________________________________________________

11. מתחלפות פנימיות בשני צדי החותך

זוויות מתחלפות פנימיות נמצאות ברצועה שבין שני הישרים, אך משני צדדים שונים של החותך. המילה פנימיות עוזרת לבחור את האזור, והמילה מתחלפות את הצדדים. אם הישרים מקבילים, הזוויות שוות; אין להשלים אותן ל־180° רק מפני שהן בשני מפגשים.

αα
זוויות מתחלפות פנימיות: בין המקבילים ומשני צדי החותך. הן שוות.

דוגמה: בין ישרים מקבילים זוויות מתחלפות פנימיות: אחת 75°. מה השנייה?

  1. שתיהן בין המקבילים ומשני צדי החותך.
  2. לפי משפט המתחלפות, הן שוות.
  3. לכן הזווית השנייה 75°.

תרגול מודרך

מתחלפות פנימיות בין מקבילים: אחת 120°. מה האחרת?

  • 60°
  • 120°
  • 30°

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

שתי זוויות נמצאות בין הישרים ומשני צדי החותך. איך נקרא הזוג?

  • מתאימות
  • צמודות
  • מתחלפות פנימיות

תשובה: __________________________________________________

12. חד־צדדיות פנימיות משלימות

זוויות חד־צדדיות פנימיות נמצאות בין שני הישרים ובאותו צד של החותך. כששני הישרים מקבילים, סכומן 180°. הן אינן בהכרח שוות. הזיהוי הגיאומטרי קודם לחישוב: מיקום פנימי ובאותו צד מצביע על השלמה ולא על העתקת המידה.

αβ
זוויות חד־צדדיות פנימיות: בין המקבילים ובאותו צד של החותך. סכומן 180°.

דוגמה: שתי זוויות חד־צדדיות פנימיות בין מקבילים; אחת 65°. מצאו את השנייה.

  1. הישרים מקבילים, לכן סכום הזוויות 180°.
  2. השנייה היא 180° − 65° = 115°.
  3. בדיקה: 65° + 115° = 180°.

תרגול מודרך

חד־צדדיות פנימיות בין מקבילים: אחת 120°. מה האחרת?

  • 60°
  • 120°
  • 30°

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

שתי זוויות בין מקבילים ובאותו צד של החותך. איזה קשר נכון בהכרח?

  • הן שוות
  • סכומן 180°
  • סכומן 90°

תשובה: __________________________________________________

13. משוויון זוויות למשוואה

לפעמים מידת זווית כתובה כביטוי עם x. כשידוע ששתי הזוויות שוות, משווים את הביטויים שלהן. פותרים באמצעות אותה פעולה בשני האגפים, ואז מציבים לבדיקה. הערך x אינו בהכרח מידת הזווית; צריך לקרוא אם ביקשו את המשתנה או את הזווית.

דוגמה: מתאימות בין מקבילים הן 3x + 10 מעלות ו־70°. מצאו x.

  1. הזוויות שוות, ולכן 3x + 10 = 70.
  2. מחסרים 10: 3x = 60. מחלקים ב־3: x = 20.
  3. בדיקה: 3 × 20 + 10 = 70°.

תרגול מודרך

קודקודיות הן 2x מעלות ו־80°. מהו x?

  • 80
  • 160
  • 40

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

מתחלפות פנימיות בין מקבילים הן 4x + 5 מעלות ו־65°. מהו x?

  • 15
  • 60
  • 17.5

תשובה: __________________________________________________

14. מסכום זוויות למשוואה

כשזוג זוויות משלים ל־180°, מחברים את הביטויים ולא משווים אותם זה לזה. לדוגמה, x ו־2x יחד הם 3x. אחרי מציאת x מחשבים את הזוויות ובודקים את סכומן. כך מפרידים בין הקשר הגיאומטרי לבין פתרון המשוואה שנובע ממנו.

דוגמה: זוויות צמודות על ישר הן x מעלות ו־2x מעלות. מצאו x.

  1. סכומן 180°, ולכן x + 2x = 180.
  2. מכנסים: 3x = 180. מחלקים ב־3: x = 60.
  3. הזוויות 60° ו־120°, וסכומן 180°.

תרגול מודרך

צמודות על ישר הן x מעלות ו־3x מעלות. מהו x?

  • 60
  • 45
  • 90

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

חד־צדדיות פנימיות בין מקבילים הן x + 20 מעלות ו־100°. מהו x?

  • 120
  • 80
  • 60

תשובה: __________________________________________________

15. ממתאימות שוות מוכיחים מקבילות

אפשר להפוך את כיוון המשפט: אם חותך יוצר זוג זוויות מתאימות שוות, שני הישרים מקבילים. כעת השוויון הוא הנתון והמקבילות היא המסקנה. צריך לציין שזה זוג מתאימות; שוויון של שתי זוויות כלשהן אינו מספיק להוכחת מקבילות.

αα
נתון שזוג זוויות מתאימות שוות. לפי המשפט ההפוך מסיקים שהישרים מקבילים, כפי שמסומן.

דוגמה: חותך יוצר זוויות מתאימות של 68° ו־68° עם שני ישרים. מה מסיקים?

  1. נתון שהזוויות מתאימות, וגם שהן שוות.
  2. מפעילים את המשפט ההפוך למתאימות.
  3. שני הישרים מקבילים.

תרגול מודרך

חותך יוצר מתאימות שוות בשני ישרים. מה אפשר להוכיח?

  • שהישרים מקבילים
  • שהישרים מאונכים
  • שכל הזוויות 90°

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

שתי זוויות לא־מזוהות שוות ל־50°. האם זה לבדו מוכיח ששני ישרים מקבילים?

  • כן, כל שוויון מספיק
  • לא, צריך לזהות קשר מתאים כגון מתאימות
  • כן, כי הזוויות חדות

תשובה: __________________________________________________

16. ממתחלפות שוות מוכיחים מקבילות

גם לזוויות מתחלפות יש משפט הפוך: אם חותך יוצר זוויות מתחלפות פנימיות שוות, הישרים מקבילים. בהוכחה מפרטים את המיקום ואת השוויון לפני המסקנה. לעומת זאת, שוויון קודקודיות נוצר בכל מפגש ואינו מוכיח ששני ישרים אחרים מקבילים.

דוגמה: חותך יוצר מתחלפות פנימיות של 110° ו־110°. כתבו טענה ונימוק.

  1. מזהים שהזוויות בין הישרים ומשני צדי החותך.
  2. המידות שוות לפי הנתון.
  3. הישרים מקבילים, בנימוק: המשפט ההפוך לזוויות מתחלפות.

תרגול מודרך

מתחלפות פנימיות שוות בין שני ישרים וחותך. מה המסקנה?

  • כל הזוויות שוות
  • החותך מאונך בהכרח
  • שני הישרים מקבילים

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

מהו נימוק תקין למקבילות?

  • שוויון של זוויות קודקודיות במפגש אחד
  • שוויון זוויות מתחלפות פנימיות שנוצרו מחותך
  • מראה של שני קווים ישרים

תשובה: __________________________________________________

דוגמה מסכמת

ישרים מקבילים נחתכים על ידי חותך. זווית אחת היא 68°. מצאו את המתאימה לה ואת הצמודה לה.

  1. הזווית המתאימה שווה לנתונה, כי הישרים מקבילים: 68°.
  2. הצמודה משלימה ל־180°: 180° − 68° = 112°.
  3. אין לחסר מ־90°: אין כאן נתון על זווית ישרה.

תרגול מסכם

שאלה 1

זווית היא 35°. מה הזווית הצמודה לה על ישר?

________________________________________________________

שאלה 2

זווית היא 72°. מה הזווית הקודקודית לה?

________________________________________________________

שאלה 3

בישרים מקבילים, זווית 110°. מה הזווית המתאימה לה?

________________________________________________________

שאלה 4

שתי זוויות חד־צדדיות פנימיות בין מקבילים. אחת 65°. מה השנייה?

________________________________________________________

שאלה 5

זוויות צמודות הן x ו־2x. מה x?

________________________________________________________

שאלה 6

שתי זוויות מתאימות הן 3x + 10 ו־70 בין ישרים מקבילים. מה x?

________________________________________________________

בדיקה עצמית

האם אני יכול/ה להסביר את הרעיון ולפתור שאלה בלי עזרה? אם לא, חוזרים לדוגמה ולרמזים שבאתר.