קליק · אתגר והכללה בחטיבת הביניים

גאומטריה אנליטית: פרמטרים וסיווג צורות

חוקרים משפחות נקודות ומרובעים עם פרמטרים, מתארים מקומות גאומטריים ומוכיחים טענות בעזרת שיעורים. בכל שלב נבדקים גם מקרים מנוונים. ההעמקה ממוקדת בגאומטריה של ישרים וקטעים, ולא מכסה את כל תוכנית הלימודים השנתית.

הרחבה לבחירה · שילוב מערכת צירים וגיאומטריה. אמצע, מרחק, מאונכות ומקומות גאומטריים הם הרחבות לפי מוכנות, לא דרישה אחידה לכל תלמידי ט׳. מסלול זה הוא אתגר והכללה לבחירה לפי מוכנות.

יחידת לימוד עד כיתה ט׳, עם הרחבות מסומנות לבחירה. הרמות הן של קליק; הן אינן מסלולי בגרות או אישור לכיסוי מלא של תוכנית שנתית.

https://klikedu.app/learn/analytic-geometry?target=5

לפני שמתחילים

1. מפרמטר למקום גאומטרי של אמצעים

מקום גאומטרי הוא אוסף כל הנקודות המקיימות תנאי. כאשר קצה אחד של קטע תלוי בפרמטר, גם האמצע תלוי בו לפי ממוצעי השיעורים. כדי להוכיח שמתקבל ישר שלם צריך שני כיוונים: כל אמצע נמצא על הישר, וכל נקודה על הישר מתקבלת עבור פרמטר מותר. כדי לדרוש שהאמצע יהיה גם על ישר נוסף, מציבים את שיעוריו במשוואת הישר הנוסף. חשוב לבדוק שהקצוות אינם מתלכדים ושלא נפסל ערך פרמטר עקב חילוק באפס.

דוגמה: נתונות A(0, 0) ו־B(t, 4), כאשר t ממשי. מצאו את מקום האמצעים M של AB, ואז את t שעבורו M על y = 2x + 1.

  1. נוסחת האמצע נותנת M(, 2). לכן כל אמצע נמצא על הישר האופקי y = 2.
  2. גם הכיוון ההפוך נכון: לכל נקודה (r, 2) על הישר, בחירת t = 2r נותנת בדיוק את הנקודה הזאת כאמצע. לכן מתקבל הישר כולו.
  3. כדי להיות גם על y = 2x + 1 מציבים את שיעורי M: מתקבל 2 = 2 × () + 1 = t + 1. לכן t = 1.
  4. במקרה הזה M(, 2). לכל t הקצוות שונים, כי ל־A שיעור y = 0 ול־B שיעור y = 4; אין מקרה של קטע באורך אפס.

תרגול מודרך

A(2, −2) קבועה ו־B(t, 6), כאשר t כל מספר ממשי. מהו מקום האמצעים של AB?

  • כל הישר x = 2
  • כל הישר y = 4
  • כל הישר y = 2

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

נתונות A(−2, 1) ו־B(t, 5). לאיזה t אמצע AB נמצא על y = x + 1?

  • t = 6
  • t = 2
  • t = 4

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

2. שוויון מרחקים: מתי מתקבל ישר ומתי כל המישור?

מרחקים הם לא־שליליים, ולכן שוויון מרחקים שקול לשוויון ריבועיהם. בכתיבת PA² = PB² לפי נוסחת המרחק, האיברים x² ו־y² מתבטלים, ולכן לשתי נקודות שונות מתקבל ישר: האנך האמצעי לקטע AB. אם A ו־B מתלכדות, כל נקודה במישור נמצאת במרחק שווה משתיהן, ואין אנך אמצעי יחיד לקטע באורך אפס. כשיש פרמטר אין לחלק בו לפני שבודקים אם הוא יכול להיות אפס. תנאי נוסף על P עלול להשאיר את כל הנקודות המותרות, חלק מהן, או אף אחת.

דוגמה: נתונות A(−a, 0), B(a, 0). תארו לכל a ממשי את כל הנקודות P(x, y) המקיימות PA = PB.

  1. משווים ריבועי מרחקים: (x + a)² + y² = (x − a)² + y².
  2. פותחים: x² + 2ax + a² + y² = x² − 2ax + a² + y². לאחר ביטול איברים מתקבל 4ax = 0.
  3. אם a ≠ 0, אפשר לחלק ב־4a ולקבל x = 0; y חופשי. זהו האנך האמצעי לקטע אופקי שקצותיו שונים.
  4. אם a = 0, שתי הנקודות הן (0, 0), והמשוואה היא 0 = 0 לכל x ולכל y. המקום הגאומטרי הוא כל המישור.
  5. שני המקרים יחד מכסים כל a. חלוקה ב־a בתחילת הפתרון הייתה מאבדת את המקרה שבו כל המישור מתאים.

תרגול מודרך

מהו מקום הנקודות P(x, y) שמרחקיהן מ־A(0, 0) ומ־B(4, 2) שווים?

  • 2x + y = 10
  • 2x + y = 5
  • x + 2y = 5

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

A(−a, 0), B(a, 0), ונדרש P על הישר x = 1 וגם PA = PB. מהו הסיווג לפי a?

  • לכל a יש בדיוק נקודה אחת
  • אם a ≠ 0 כל הישר x = 1 מתאים; אם a = 0 אין נקודות
  • אם a = 0 כל הישר x = 1 מתאים; אם a ≠ 0 אין נקודות

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

3. מאונכות דרך פיתגורס: גם כששיפוע אינו מוגדר

נרשום את הפרשי השיעורים מ־A ל־B כ־(u, v), ומ־A ל־C כ־(r, s). אז AB² = u² + v², AC² = r² + s² ו־BC² = (r − u)² + (s − v)². פתיחת הריבועים נותנת AB² + AC² − BC² = 2(ur + vs). לכן, כאשר B ≠ A וגם C ≠ A, התנאי ur + vs = 0 שקול לזווית ישרה ב־A, לפי פיתגורס והמשפט ההפוך. זהו מבחן ללא חילוק, ולכן הוא עובד גם בכיוונים אנכיים ואופקיים. התנאי על נקודות שונות חיוני: קטע באורך אפס אינו מגדיר כיוון או זווית, גם אם הביטוי האלגברי מתאפס.

דוגמה: נתונות A(0, 0), B(t, 1), C(2, −t). מצאו את כל t שעבורם הזווית BAC ישרה.

  1. ההפרשים מ־A הם (t, 1) ו־(2, −t). הקצוות B ו־C שונים מ־A לכל t: ל־B שיעור y = 1 ול־C שיעור x = 2.
  2. תנאי המאונכות הוא t × 2 + 1 × (−t) = 0, כלומר t = 0.
  3. מציבים t = 0 ומקבלים B(0, 1), C(2, 0). שתי נקודות שונות מ־A וגם זו מזו, ולכן מתקבל משולש.
  4. AB אנכי ו־AC אופקי, ולכן אכן הזווית ב־A ישרה. חישוב שיפוע AB היה דורש חילוק באפס; המבחן דרך פיתגורס כולל את המקרה הזה.

תרגול מודרך

A(0, 0), B(t, 2), C(3, −1). לאיזה t הזווית ב־A ישרה?

  • t = −
  • t =
  • t =

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

A(0, 0), B(t, 0), C(0, t + 1). לאילו t מתקבל משולש ישר זווית ב־A?

  • לכל t פרט ל־0 ול־−1
  • לכל t ממשי
  • רק עבור t = 0 או t = −1

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

4. הוכחה בשיעורים לכל משולש במשפחה

הצבה של מספרים מדגימה מקרה אחד; הוכחה עם פרמטרים תקפה לכל הערכים המותרים. במשולש A(0, 0), B(2b, 0), C(2u, 2v), נדרוש b ≠ 0 כדי ש־A ו־B יהיו שונות ו־v ≠ 0 כדי ש־C לא תהיה על AB. אלה תנאי האי־ניוון. כדי להוכיח שקטע המחבר אמצעי שתי צלעות מקביל לצלע השלישית ואורכו מחציתה, מחשבים אמצעים ומשווים הפרשי שיעורים. אם זוג ההפרשים בקטע אחד הוא פי 2 מהזוג בקטע אחר, הכיוונים זהים, ריבוע האורך גדול פי 4, והאורך גדול פי 2. כך אפשר להוכיח מקבילות בלי לחלק בשיעור שעשוי להתאפס.

דוגמה: במשולש A(0, 0), B(2b, 0), C(2u, 2v), כאשר b ≠ 0 ו־v ≠ 0, יהיו M ו־N אמצעי AC ו־BC. הוכיחו MN ∥ AB ו־MN = .

  1. מנוסחת האמצע מתקבל M(u, v) ו־N(b + u, v).
  2. לשני האמצעים אותו שיעור y, ושיעורי x שלהם שונים כי b ≠ 0. לכן MN הוא קטע אופקי בעל אורך חיובי.
  3. גם AB אופקי. הישר המכיל MN הוא y = v והישר המכיל AB הוא y = 0; הם שונים כי v ≠ 0. לכן MN מקביל ל־AB.
  4. אורך MN הוא |(b + u) − u| = |b|. אורך AB הוא |2b| = 2|b|, ולכן MN = .
  5. לא נבחרו ערכים מסוימים ל־u, b או v. ההוכחה תקפה לכל המשפחה בתנאים הנתונים, גם כאשר b שלילי.

תרגול מודרך

A(0, 0), B(10, 0), C(2u, 2v), כאשר v ≠ 0. M ו־N אמצעי AC ו־BC. מהו MN לכל u ולכל v מותרים?

  • 10
  • u² + v²
  • 5

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

A(0, 0), B(2b, 0), C(2u, 2v), כאשר b ≠ 0 ו־v ≠ 0. הפעם M אמצע AB ו־N אמצע AC. מה נכון תמיד?

  • MN ∥ BC וגם MN =
  • MN מאונך ל־BC וגם MN =
  • MN ∥ BC וגם MN = BC

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

5. משפחת מרובעים: מסווגים ומוציאים מקרים מנוונים

כדי לסווג משפחת מרובעים, מפרידים שלוש שאלות: מתי יש מרובע לא־מנוון; אילו תכונות נכונות תמיד; ואילו תנאים נוספים נותנים מלבן או ריבוע. אמצע משותף לאלכסונים מוכיח מקבילית רק כאשר מתקבל מרובע לא־מנוון. מעוין הוא מקבילית שכל צלעותיה שוות; מלבן הוא מקבילית עם זווית ישרה; ריבוע מקיים את שתי התכונות. מאונכות האלכסונים לבדה אינה מוכיחה מלבן. אפשר לבדוק זווית בין צלעות באמצעות סכום מכפלות הפרשי השיעורים, בלי להסתמך על שיפועים או על מראה של שרטוט.

דוגמה: נתונות A(−1, 0), B(0, t), C(1, 0), D(0, −t), לפי הסדר. סווגו את הצורה לכל t ממשי.

  1. ב־t = 0 מתקבל B = D = (0, 0), וכל הנקודות על ציר x. זהו מקרה מנוון, ולא מרובע.
  2. ב־t ≠ 0 הנקודות שונות, והאלכסונים AC ו־BD נמצאים על צירים שונים ונחתכים באמצע שניהם, (0, 0). ארבעת הקודקודים בסדר הנתון יוצרים מרובע לא־מנוון, ולכן זו מקבילית.
  3. לכל אחת מארבע הצלעות ריבוע אורך 1 + t². לכן זו מקבילית עם ארבע צלעות שוות, כלומר מעוין.
  4. כדי לבדוק זווית ישרה ב־B, ההפרשים מ־B ל־A הם (−1, −t), ומ־B ל־C הם (1, −t). סכום המכפלות הוא −1 + t².
  5. הזווית ישרה בדיוק כש־t² = 1, כלומר t = 1 או t = −1. בשני המקרים המעוין הוא גם מלבן ולכן ריבוע. לכל t אחר שאינו אפס זהו מעוין שאינו מלבן.
  6. אלכסוני המשפחה מאונכים לכל t ≠ 0, אך ריבוע מתקבל רק בשני ערכים. לכן מאונכות אלכסונים אינה תחליף לבדיקת זווית בין צלעות.
מקרה מתוך המשפחה: t = 2-3-2-1123-3-2-1123xy0ABCDO
מקרה מתוך המשפחה: t = 2

במשפחה הנתונה A(−1, 0), B(0, t), C(1, 0), D(0, −t), מוצג רק המקרה t = 2. O(0, 0) הוא האמצע המשותף המחושב של האלכסונים. זהו מעוין שאינו מלבן: סכום המכפלות לבדיקת הזווית ב־B הוא t² − 1 = 3, ולא אפס. הציור אינו מוכיח את הסיווג לכל t; לשם כך בודקים אלגברית גם t = 0 ו־t = ±1.

תרגול מודרך

A(−2, 0), B(0, t), C(2, 0), D(0, −t), לפי הסדר. לאילו t מתקבל מלבן לא־מנוון?

  • רק t = 2
  • t = 2 או t = −2
  • לכל t ≠ 0

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

A(−a, 0), B(0, b), C(a, 0), D(0, −b), לפי הסדר, כאשר a ו־b ממשיים. מהו התנאי המדויק לכך שיתקבל ריבוע לא־מנוון?

  • a² = b², גם אם שניהם אפס
  • a ≠ 0 וגם b ≠ 0, ללא תנאי נוסף
  • a ≠ 0 וגם b ≠ 0 וגם a² = b²

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

בדיקה עצמית

הסבירו את דרך הפתרון ובדקו את התוצאה מול הנתונים והתנאים המקוריים. אפשר לפתוח משוב ורמזים ביחידה המקוונת.