קליק · בסיס מודרך בחטיבת הביניים
כפל מקוצר: ריבוע סכום, הפרש והפרש ריבועים
מתחילים ממשמעות ריבוע של ביטוי, בונים ריבוע סכום וריבוע הפרש, ומכירים הפרש ריבועים בשני הכיוונים. זהו מסלול בסיס ממוקד, ולא כיסוי מלא של תוכנית הלימודים השנתית.
יסודות בחטיבה · יסודות ויישומים בחטיבת הביניים. מסלול האתגר מוסיף הכללה והנמקה לפי מוכנות; אין לייחס את כל ההרחבות כחובה לכל כיתה. מסלול זה בונה את היסודות בצעדים מודרכים.
יחידת לימוד עד כיתה ט׳, עם הרחבות מסומנות לבחירה. הרמות הן של קליק; הן אינן מסלולי בגרות או אישור לכיסוי מלא של תוכנית שנתית.
https://klikedu.app/learn/algebraic-identities?target=3לפני שמתחילים
- כפל מספרים, סדר פעולות ופתיחת סוגריים.
- x² פירושו x כפול עצמו; משמעות החזקה על סוגריים נבנית בשלב הראשון.
1. ריבוע של סוגריים הוא כפל של הביטוי בעצמו
החזקה 2 על סוגריים חלה על כל הביטוי: (a + b)² = (a + b)(a + b). היא אינה אומרת לכפול את הביטוי ב־2, וגם אינה מאפשרת להעלות כל איבר בריבוע ולחבר בלבד. כשמציבים מספר, אפשר קודם לחשב את מה שבסוגריים ואז לכפול את התוצאה בעצמה. כל הביטויים במסלול הזה פולינומיים, ולכן מוגדרים לכל מספר ממשי.
דוגמה: מהו ערך (x + 3)² כאשר x = 2, ומה מראה ההשוואה ל־x² + 3²?
- מציבים בסוגריים: (2 + 3)² = 5² = 5 × 5 = 25.
- לעומת זאת, 2² + 3² = 4 + 9 = 13. התוצאות שונות.
- לכן אי אפשר להחליף באופן כללי את (x + 3)² ב־x² + 9.
- הכתיבה הנכונה של הריבוע כמכפלה היא (x + 3)(x + 3). בשלב הבא נפתח אותה ונראה מה חסר.
תרגול מודרך
איזו מכפלה מבטאת את המשמעות של (x + 4)² לכל x?
- 2(x + 4)
- (x + 4)(x + 4)
- x² + 16
תשובה ודרך פתרון: _____________________________________
ניסיון עצמאי
מהו ערך (x − 2)² כאשר x = 5?
- 21
- 6
- 9
תשובה ודרך פתרון: _____________________________________
2. ריבוע סכום: האיבר האמצעי מופיע פעמיים
פותחים (a + b)(a + b): מקבלים a² + ab + ab + b². שני האיברים ab מתאחדים ל־2ab. לכן (a + b)² = a² + 2ab + b². זהות היא שוויון שנכון לכל הצבה של המשתנים, והנוסחה הזאת היא זהות. לזכירה: ריבוע הראשון, ועוד פעמיים מכפלת שני החלקים, ועוד ריבוע השני.
דוגמה: פתחו את (x + 3)².
- מזהים את שני החלקים: a = x, b = 3.
- ריבוע הראשון הוא x²; פעמיים המכפלה הוא 2 × x × 3 = 6x; ריבוע השני הוא 9.
- לכן (x + 3)² = x² + 6x + 9.
- אפשר לראות את האיבר האמצעי גם בכפל: (x + 3)(x + 3) = x² + 3x + 3x + 9.
תרגול מודרך
מהי פתיחת (x + 2)²?
- x² + 4x + 4
- x² + 4
- x² + 2x + 4
תשובה ודרך פתרון: _____________________________________
ניסיון עצמאי
מהי פתיחת (x + 5)²?
- x² + 5x + 25
- x² + 10x + 25
- x² + 25
תשובה ודרך פתרון: _____________________________________
3. ריבוע הפרש: מינוס לפני האיבר האמצעי
כאשר כותבים (a − b)², מכפילים (a − b)(a − b). מתקבלים a² − ab − ab + b², כי מכפלת שני המינוסים באיבר האחרון חיובית. לכן (a − b)² = a² − 2ab + b². המינוס שבתוך הסוגריים אינו הופך את האיבר האחרון לשלילי. במיוחד, (a − b)² אינו a² − b².
דוגמה: פתחו את (x − 4)².
- מזהים a = x ו־b = 4.
- ריבוע הראשון הוא x², האיבר האמצעי הוא −2 × x × 4 = −8x, וריבוע השני הוא +16.
- לכן (x − 4)² = x² − 8x + 16.
- בדיקה מספרית ב־x = 4: המקור הוא 0² = 0, והפיתוח נותן 16 − 32 + 16 = 0. זו בדיקה, והפתיחה האלגברית היא שמוכיחה את הזהות לכל x.
תרגול מודרך
מהי פתיחת (x − 3)²?
- x² − 9
- x² − 6x − 9
- x² − 6x + 9
תשובה ודרך פתרון: _____________________________________
ניסיון עצמאי
מהי פתיחת (x − 1)²?
- x² − 2x + 1
- x² − 1
- x² − x + 1
תשובה ודרך פתרון: _____________________________________
4. סכום כפול הפרש: האיברים האמצעיים מתבטלים
במכפלה (a + b)(a − b) מקבלים a² − ab + ab − b². האיברים האמצעיים מבטלים זה את זה, ולכן (a + b)(a − b) = a² − b². משתמשים בזהות גם בכיוון ההפוך: הפרש של שני ריבועים מתפרק לסכום כפול הפרש. למשל, x² − 16 הוא x² − 4², ולכן (x + 4)(x − 4). זה שונה מריבוע הפרש, שבו יש גם איבר אמצעי.
דוגמה: פשטו (x + 5)(x − 5), ואז קראו את הזהות גם בכיוון ההפוך.
- החלק הראשון הוא x והחלק השני הוא 5; הסוגריים נבדלים רק בסימן שביניהם.
- לפי הזהות מתקבל x² − 5² = x² − 25.
- בדיקה בפתיחה: x² − 5x + 5x − 25 = x² − 25.
- לכן גם הפירוק ההפוך נכון: x² − 25 = (x + 5)(x − 5). אין כאן איבר של ±10x.
תרגול מודרך
מהי תוצאת (x + 2)(x − 2)?
- x² − 4x + 4
- x² + 4
- x² − 4
תשובה ודרך פתרון: _____________________________________
ניסיון עצמאי
איזה פירוק נכון של x² − 49?
- (x − 7)²
- (x − 7)(x + 7)
- (x − 49)(x + 49)
תשובה ודרך פתרון: _____________________________________
בדיקה עצמית
הסבירו את דרך הפתרון ובדקו את התוצאה מול הנתונים והתנאים המקוריים. אפשר לפתוח משוב ורמזים ביחידה המקוונת.