קליק · תרגול והעמקה בחטיבת הביניים

פישוט ביטויים ובניית מודל אלגברי

משלבים פתיחת סוגריים וכינוס, מבדילים בין חזקות, פותרים משוואה ובודקים אילוצי אורך במודל. רמת למידה של קליק לפי הידע הקודם; ההרחבות אינן חובת לימוד לכל תלמידי החטיבה.

תרגול והעמקה בחטיבה · יסודות ויישומים בחטיבת הביניים. מסלול האתגר מוסיף הכללה והנמקה לפי מוכנות; אין לייחס את כל ההרחבות כחובה לכל כיתה. מסלול זה משלב מיומנויות; בדקו את הידע הקודם לפני שמתחילים.

יחידת לימוד עד כיתה ט׳, עם הרחבות מסומנות לבחירה. הרמות הן של קליק; הן אינן מסלולי בגרות או אישור לכיסוי מלא של תוכנית שנתית.

https://klikedu.app/learn/algebra-foundations?target=4

לפני שמתחילים

1. מפלגים עם הסימן ששייך למקדם

בכפל של מספר בסוגריים מכפילים כל איבר, כולל הסימן שלו. בביטוי 2(x − 3) − (x + 4), הסוגריים השניים מוכפלים למעשה ב־−1. פותחים כל סוגריים בנפרד ורק לאחר מכן מכנסים איברים דומים. כתיבה של שלב ביניים מונעת אובדן של מינוס; אפשר לבדוק שקילות בהצבה, אך הצבה אחת לבדה אינה מוכיחה כלל לכל x.

דוגמה: פשטו 2(x − 3) − (x + 4) ובדקו עבור x = −2.

  1. פותחים את הסוגריים הראשונים: 2x − 6.
  2. המינוס לפני הסוגריים השניים נותן −x − 4. לכן הביטוי כולו הוא 2x − 6 − x − 4.
  3. מכנסים: x − 10.
  4. עבור x = −2, המקור נותן 2(−5) − 2 = −12, וגם x − 10 = −12. הפילוג והכינוס הם שמצדיקים שקילות לכל x.

תרגול מודרך

פשטו 3(x − 2) − 2(x + 1).

  • 5x − 4
  • x − 8
  • x − 4

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

פשטו 4 − 2(3 − x).

  • −2x − 2
  • 2x + 10
  • 2x − 2

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

2. אותה אות אינה מספיקה: גם החזקה צריכה להיות זהה

x ו־x² מתארים ביטויים שונים: x² הוא x × x. לכן 2x² ו־−x² הם איברים דומים, אבל 2x² ו־3x אינם דומים. בכינוס שומרים על החזקה ומחברים רק מקדמים. למשל 2x² + 3x − x² + 5x = x² + 8x. אם x מקבל ערך מסוים ייתכן שערכי שני סוגי איברים ישתוו במקרה, אך אין בכך היתר לכנס אותם ככלל.

דוגמה: פשטו 4x² + 2x − x² + 5x − 3.

  1. מסמנים את איברי x²: 4x² − x² = 3x².
  2. מכנסים בנפרד את איברי x: 2x + 5x = 7x.
  3. הקבוע −3 נשאר, ולכן מתקבל 3x² + 7x − 3.
  4. לא הופכים x² + x ל־x³. חיבור איברים שונה מכפל חזקות.

תרגול מודרך

פשטו 2x² + 3x − x² − x.

  • 3x²
  • x² + 4x
  • x² + 2x

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

מהו ערך הביטוי x² + 2x כאשר x = −3?

  • 3
  • 15
  • −15

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

3. פותרים משוואה אחרי שמפשטים כל אגף

כאשר המשתנה מופיע בשני האגפים, אפשר לחסר אותו איבר משניהם כדי לרכז את המשתנה בצד אחד. תחילה פותחים סוגריים ומכנסים בתוך כל אגף. אחר כך מבצעים פעולות זהות בשני הצדדים. ״העברת אגף״ היא קיצור לחיבור או לחיסור משני האגפים, ולא שינוי סימן ללא סיבה. לבסוף בודקים במקור, שבו קל לגלות טעות בפתיחת סוגריים.

דוגמה: פתרו 3(x − 2) = 2x + 5.

  1. פותחים סוגריים: 3x − 6 = 2x + 5.
  2. מחסרים 2x משני האגפים ומקבלים x − 6 = 5.
  3. מוסיפים 6 לשני האגפים: x = 11.
  4. בדיקה במקור: 3(11 − 2) = 27, וגם 2 × 11 + 5 = 27.

תרגול מודרך

מהו פתרון המשוואה 4(x − 1) = 2x + 8?

  • x = 6
  • x = 2
  • x = 4

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

מהו פתרון המשוואה 2(x + 3) − x = 11?

  • x = 17
  • x = 5
  • x = 8

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

4. פתרון אלגברי חייב להתאים לאורכים בסיפור

ביטוי אלגברי עשוי להיות מוגדר לכל מספר ממשי, אבל סיפור מגביל את הערכים המתאימים. צלע של מלבן צריכה להיות חיובית ממש, ולכן אם אורכה x − 1 נדרש x > 1. רושמים את התנאים לפני הפתרון, בונים את המשוואה ובודקים את התוצאה גם בתחום וגם בנתון הגאומטרי. אורך אפס אינו מלבן תקין כאן.

דוגמה: למלבן צלעות x − 1 ו־x + 3 ס״מ והיקפו 28 ס״מ. מצאו את x ואת הצלעות.

  1. שתי הצלעות חייבות להיות חיוביות: x − 1 > 0 וגם x + 3 > 0. יחד נדרש x > 1.
  2. נוסחת ההיקף נותנת 2(x − 1) + 2(x + 3) = 28, כלומר 4x + 4 = 28.
  3. מחסרים 4 ומחלקים ב־4: x = 6. ערך זה בתחום המותר.
  4. הצלעות הן 5 ו־9 ס״מ, וההיקף 2 × 5 + 2 × 9 = 28 ס״מ.

תרגול מודרך

למלבן צלעות x − 1 ו־x + 3 ס״מ והיקף 20 ס״מ. מהו x התקף?

  • x = 0
  • x = 4
  • x = 5

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

למלבן צלעות x − 2 ו־6 − x. מהו התחום שבו שתי הצלעות חיוביות?

  • x > 2
  • 2 ≤ x ≤ 6
  • 2 < x < 6

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

בדיקה עצמית

הסבירו את דרך הפתרון ובדקו את התוצאה מול הנתונים והתנאים המקוריים. אפשר לפתוח משוב ורמזים ביחידה המקוונת.