קליק · אתגר והכללה בחטיבת הביניים

דלתון: זהויות, שקילות וסיווג מקרים

מסלול הוכחה פרמטרי: מנמקים את מודל הדלתון, מוכיחים תנאי הכרחי ומספיק לזוויות ישרות, פותרים משוואה בהעברות שקולות, בודקים קיום וממיינים את כל המקרים. אין כאן טענה לכיסוי מלא של תוכנית שנתית.

הרחבה לבחירה · סדנת הוכחות בדלתון, תנאים מספיקים וחקירת משפחות. הרחבה לבחירה, לא פרק חובה נפרד. מסלול זה הוא אתגר והכללה לבחירה לפי מוכנות.

יחידת לימוד עד כיתה ט׳, עם הרחבות מסומנות לבחירה. הרמות הן של קליק; הן אינן מסלולי בגרות או אישור לכיסוי מלא של תוכנית שנתית.

https://klikedu.app/learn/advanced-kite?target=5

לפני שמתחילים

1. מוכיחים את המודל לפני שמחשבים בו

במסלול זה דלתון הוא מרובע קמור לא מנוון ABCD, עם קודקודים בסדר ההיקף, AB = AD ו־CB = CD; גם מעוין נכלל. AC הוא האלכסון הראשי, המחבר את מפגשי זוגות הצלעות השוות, ואינו בהכרח הארוך יותר. O = AC ∩ BD פנימית לשני האלכסונים. נוכיח את התכונות לפני שנשתמש בהן, ואז נסמן p = AO, q = CO, r = BO = DO. הקמירות ואי־הניוון מחייבים p,q,r > 0. מן המודל יתקבל AC = p + q, BD = 2r, AB² = p² + r² ו־CB² = q² + r². גם הכיוון הבונה חשוב: כל שלשה חיובית p,q,r יוצרת דלתון מן הסוג הזה, אם בונים אותה על שני ישרים מאונכים דרך O.

דוגמה: הצדיקו גם את תכונות המודל וגם את הטענה שכל p,q,r חיוביים אכן נותנים דלתון קמור.

  1. AB = AD, BC = DC ו־AC משותפת נותנים △ABC ≅ △ADC לפי צלע־צלע־צלע. לכן AC חוצה את A ואת C, וגם ∠ABC = ∠ADC.
  2. משוויון הזוויות ב־A, מ־AB = AD ומ־AO המשותפת נקבל △ABO ≅ △ADO לפי צלע־זווית־צלע. לכן BO = DO והזוויות AOB ו־AOD שוות. הן צמודות, ולכן ישרות.
  3. עכשיו מותר להפעיל פיתגורס: AB² = p² + r² ו־CB² = q² + r². פנימיות O נותנת AC = p + q, בלי ערך מוחלט ובלי חיסור.
  4. לכיוון הבונה: בונים שני ישרים מאונכים דרך O. על הראשון מציבים A ו־C בקרניים מנוגדות במרחקים p ו־q; על השני מציבים B ו־D בקרניים מנוגדות במרחק r כל אחת.
  5. חפיפת ABO עם ADO וחפיפת CBO עם CDO לפי צלע־זווית־צלע נותנות את שני זוגות הצלעות השוות. ארבעת המשולשים הקטנים אינם מנוונים, וכל זווית פנימית של ABCD היא סכום שתי זוויות חדות, ולכן קטנה מ־180°. מתקבל דלתון קמור, עם O פנימית.

תרגול מודרך

מדוע במודל הזה AC = p + q ולא |p − q|?

  • כי כל דלתון הוא מעוין
  • כי O פנימית ל־AC ולכן A ו־C בשתי קרניים מנוגדות מ־O
  • כי p חייב להיות גדול מ־q

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

איזה תחום מבטיח שבניית המודל תיתן דלתון קמור לא מנוון?

  • p,q,r > 0
  • p,q,r ≥ 0, כולל אפס
  • p + q > 0 בלבד

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

2. זהות שמוכיחה תנאי הכרחי ומספיק

במודל p,q,r החיובי מתקיים AB² + CB² − AC² = (p² + r²) + (q² + r²) − (p + q)² = 2(r² − pq). לכן ∠ABC = 90° אם ורק אם pq = r². בכיוון אחד משתמשים בפיתגורס במשולש ABC שהזווית שלו נתונה כישרה. בכיוון ההפוך שוויון הריבועים מאפשר להשתמש במשפט ההפוך לפיתגורס, ומסיקים שהזווית מול AC, כלומר B, ישרה. גם D ישרה מפני ש־B ו־D שוות בחפיפה שהוכחה. אין צורך במשפט על מעגל או בהנחת חצייה גם של AC.

דוגמה: בדלתון AO = 2, CO = 8, BO = 4. הוכיחו ש־B ו־D ישרות, והוכיחו גם את הכיוון ההפוך של תנאי המכפלה.

  1. כבר הוכחנו DO = BO = 4 וניצבות ב־O. במודל p = 2, q = 8, r = 4; מתקיים pq = 16 = r².
  2. פיתגורס במשולשים הקטנים נותן AB² = 2² + 4² = 20, CB² = 8² + 4² = 80. AC = 10, ולכן AC² = 100.
  3. מתקיים AB² + CB² = AC². לפי המשפט ההפוך לפיתגורס ב־ABC, הזווית B ישרה. מחפיפת ABC ו־ADC גם D ישרה.
  4. לכיוון ההפוך, נניח בדלתון כלשהו ש־B ישרה. פיתגורס ב־ABC נותן AB² + CB² − AC² = 0. מציבים את זהות המודל: 2(r² − pq) = 0.
  5. מחלקים את שני האגפים ב־2 ומוסיפים pq לשני האגפים: r² = pq. כל המעברים שקולים, ולכן הוכחנו תנאי הכרחי ומספיק.
pq = r²: הזוויות ב־B וב־D מתקבלות מן ההוכחה28r = 44ABCDO
pq = r²: הזוויות ב־B וב־D מתקבלות מן ההוכחה

האיור תואם לדוגמה p = AO = 2, q = CO = 8, r = BO = 4. שוויונות AB = AD ו־CB = CD הם נתוני הדלתון. הניצבות ב־O ושוויון DO = BO = 4 כבר הוכחו בשלב הבסיס. הזוויות הישרות ב־B וב־D הן מסקנות השלב הנוכחי: pq = 16 = r² מוביל לפיתגורס ההפוך ב־ABC, ואז לחפיפת ABC ו־ADC. אין להניח את הזוויות האלה לפני ההוכחה.

תרגול מודרך

אם ∠ABC = 90°, p = 3 ו־q = 12, מה r?

  • 6
  • 15
  • 36

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

במודל חיובי p = 3, q = 7, r = 4. האם B ישרה?

  • כן, כי p + q = 10
  • לא, כי pq = 21 שונה מ־r² = 16
  • כן, כי האלכסונים מאונכים

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

3. פותרים פרמטר ובודקים כל פתרון

כאשר אורכי המודל תלויים בפרמטר, קודם קובעים את תחום החיוביות, אחר כך פותרים, ולבסוף בודקים את כל המועמדים בתחום ובנתונים. במודל p = t + 1, q = 5 − t, r = 2, התחום הוא −1 < t < 5. התנאי לזווית B ישרה הוא (t + 1)(5 − t) = 4. בהעברת אגף מבצעים אותה פעולת חיבור או חיסור בשני האגפים; אין שינוי סימן שרירותי. השלמה לריבוע מאפשרת למצוא את שני הפתרונות בלי לאבד את סימן המינוס של השורש. פתרון אלגברי מחוץ לתחום אינו דלתון מן הסוג שהוגדר.

דוגמה: מצאו את כל t שעבורם p = t + 1, q = 5 − t, r = 2 נותנים דלתון קמור עם זוויות B ו־D ישרות.

  1. החיוביות דורשת t + 1 > 0 וגם 5 − t > 0, ולכן −1 < t < 5. r = 2 כבר חיובי.
  2. לפי התנאי שהוכח, (t + 1)(5 − t) = 4. פותחים סוגריים: −t² + 4t + 5 = 4. מחסרים 4 משני האגפים: −t² + 4t + 1 = 0.
  3. כופלים את שני האגפים ב־−1: t² − 4t − 1 = 0. מוסיפים 1 לשני האגפים, ואז מוסיפים 4: t² − 4t + 4 = 5. לכן (t − 2)² = 5.
  4. מקבלים t − 2 = ±5, ולכן t = 2 + 5 או t = 2 − 5. כל המעברים שקולים; לא חילקנו בביטוי שעלול להתאפס.
  5. מאחר ש־0 < 5 < 3, שני הפתרונות בתחום. בכל אחד מהם p ו־q הם 3 + 5 ו־3 − 5, בסדר הפוך; שניהם חיוביים ומכפלתם 9 − 5 = 4. כל בחירה בונה דלתון תקין עם B ו־D ישרות. אלה שתי בחירות של t; החלפת A ו־C מחליפה ביניהן.

תרגול מודרך

איזו משוואה שקולה ל־−t² + 4t + 5 = 4 לאחר העברה וכפל ב־−1?

  • t² − 4t − 1 = 0
  • t² + 4t + 1 = 0
  • t² − 4t + 9 = 0

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

במודל p = t, q = 6 − t, r = 5, אילו t נותנים דלתון קמור עם B ישרה?

  • t = 1 בלבד
  • t = 5 בלבד
  • t = 1 או t = 5

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

4. ממצים את כל המקרים במשפחה

נניח AC = 2h, כאשר h > 0 קבוע, ו־BO = DO = r > 0. לכן p + q = 2h, ותחום הבנייה הקמורה הוא 0 < p < 2h עם q = 2h − p. זווית B ישרה אם ורק אם p(2h − p) = r², השקול ל־(p − h)² = h² − r². מכאן שלושה מקרים מלאים: אם 0 < r < h יש שתי בחירות של p; אם r = h יש בחירה אחת p = q = h; ואם r > h אין בחירה שנותנת B ישרה. במקרה האחרון עדיין קיימים דלתונים קמורים עם האלכסונים האלה, אבל אף אחד מהם אינו מקיים את תנאי הזווית הישרה.

דוגמה: כאשר AC = 10 ו־BD = 2r, מיינו את כל האפשרויות ל־AO = p שנותנות B ישרה, והצדיקו שהפתרונות שמצאתם אכן אפשריים.

  1. כאן h = 5, q = 10 − p ו־0 < p < 10. תנאי המכפלה הוא p(10 − p) = r².
  2. פותחים ומעבירים אגפים בפעולות זהות: p² − 10p = −r². מוסיפים 25 לשני האגפים: (p − 5)² = 25 − r².
  3. אם 0 < r < 5, אז 0 < 25 − r² < 5. לכן שני הערכים p = 5 ± 25 − r² שונים, ושניהם בתוך (0,10). גם q חיובי, ולכן הבנייה מן השלב הראשון מוכיחה קיום.
  4. אם r = 5, אגף ימין אפס, ולכן p = 5 בלבד וגם q = 5. זה פתרון אחד, ולא שני פתרונות שונים בשם +0 ו־−0.
  5. אם r > 5, אגף ימין שלילי ואילו ריבוע מספר ממשי אינו שלילי. לכן אין פתרון עם B ישרה. למשל p = q = 5 עדיין בונה דלתון קמור, אך הוא אינו מקיים pq = r². המקרה r = 0 מחוץ לנתונים כי BD היה מתאפס.

תרגול מודרך

נתון AC = 12 ו־BO = 5. אילו אורכי AO נותנים B ישרה?

  • 6 + 11 בלבד
  • 6 − 11 וגם 6 + 11
  • 6 בלבד

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

נתון AC = 12 ו־BD = 14. מה נכון?

  • אין שום דלתון קמור עם נתונים אלה
  • יש דלתונים קמורים, אך אין אחד שבו B ישרה
  • יש בדיוק בחירה אחת של AO שבה B ישרה

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

5. שני תנאים יחד: מתי מתקבל ריבוע?

נוכיח אפיון מדויק בתוך משפחת הדלתונים הקמורים: ABCD ריבוע אם ורק אם AC = BD וגם ∠ABC = 90°. אין להשמיט אף תנאי. במודל שלנו התנאים הם p + q = 2r וגם pq = r². הזהות (p − q)² = (p + q)² − 4pq נותנת p = q; לאחר הצבה גם p = q = r. ארבעת המשולשים סביב O ישרי־זווית ושווי־שוקיים, ולכן כל זווית פנימית של המרובע היא 45° + 45° = 90°, וכל הצלעות שוות. כך מתקבל ריבוע לפי הגדרתו, בלי להניח מראש שוויון אלכסונים הוא תנאי מספיק.

דוגמה: הוכיחו את האפיון בשני הכיוונים, ואז הפריכו את הטענה ״דלתון עם אלכסונים שווים הוא תמיד ריבוע״.

  1. נניח AC = BD ו־B ישרה. אז p + q = 2r וגם pq = r². לכן (p − q)² = (2r)² − 4r² = 0, ומכאן p = q.
  2. מציבים בסכום: 2p = 2r, ולכן p = q = r > 0. כל אחד מארבעת המשולשים הקטנים בעל ניצבים שווים, ולכן שתי זוויותיו החדות 45°. כל זווית של המרובע 90°, וכל צלע אורכה 2r². זהו ריבוע.
  3. בכיוון ההפוך, אם ABCD ריבוע, אז B ישרה. נסמן את אורך הצלע s > 0. מפיתגורס במשולשים ABC ו־BCD: AC² = 2s² וגם BD² = 2s²; האלכסונים חיוביים ולכן AC = BD.
  4. נגד השמטת התנאי B ישרה: p = 1, q = 7, r = 4 נותנים דלתון קמור. AC = 8 = BD, אבל pq = 7 ≠ 16 = r². לכן B אינה ישרה; גם AB² = 17 ו־CB² = 65 שונים, ולכן אין ריבוע.
  5. גם זווית B ישרה לבדה אינה מספיקה: בדוגמה p = 2, q = 8, r = 4 מתקיים pq = r², אך AC = 10 ≠ 8 = BD. שני התנאים יחד, ורק יחד, נותנים את האפיון שהוכחנו.

תרגול מודרך

נתון בדלתון p + q = 2r וגם pq = r². איזו שורה מוכיחה p = q?

  • p² + q² = 0
  • (p − q)² = (p + q)² − 4pq = 0
  • p + q = pq

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

בדלתון B ישרה ו־AC = BD = 10. אילו אורכים מתחייבים?

  • AO = CO = BO = 5
  • AO = 2, CO = 8, BO = 5
  • AO = CO = 10, BO = 5

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

בדיקה עצמית

הסבירו את דרך הפתרון ובדקו את התוצאה מול הנתונים והתנאים המקוריים. אפשר לפתוח משוב ורמזים ביחידה המקוונת.