קליק · תרגול והעמקה בחטיבת הביניים

דלתון: תנאים מספיקים ומשפטים הפוכים

מסלול הוכחות שבונה בסיס קצר, הופך תנאים בזהירות, מציג דוגמה נגדית ומקשר בין שטחים שווים למעוין. ההתאמה לרמה מתארת את אופן ההעמקה, ולא כיסוי מלא של תוכנית שנתית.

הרחבה לבחירה · סדנת הוכחות בדלתון, תנאים מספיקים וחקירת משפחות. הרחבה לבחירה, לא פרק חובה נפרד. מסלול זה משלב מיומנויות; בדקו את הידע הקודם לפני שמתחילים.

יחידת לימוד עד כיתה ט׳, עם הרחבות מסומנות לבחירה. הרמות הן של קליק; הן אינן מסלולי בגרות או אישור לכיסוי מלא של תוכנית שנתית.

https://klikedu.app/learn/advanced-kite?target=4

לפני שמתחילים

1. מקימים בסיס שאפשר להסתמך עליו

בכל שאלה במסלול, ABCD הוא מרובע קמור לא מנוון, קודקודיו לפי סדר ההיקף, ו־O = AC ∩ BD פנימית לשני האלכסונים. כאשר נתון שהוא דלתון, הכוונה AB = AD וגם CB = CD; מעוין נכלל. AC נקרא האלכסון הראשי מפני שהוא מחבר את מפגשי זוגות הצלעות השוות, ולא מפני שאורכו הגדול ביותר. בשאלת זיהוי מתחילים רק מהנתונים הכתובים, ואסור להניח מראש שהמרובע דלתון. נוכיח תחילה: בדלתון AC חוצה את זוויות A ו־C, הזוויות B ו־D שוות, ו־AC אנך אמצעי ל־BD.

דוגמה: מן הנתון AB = AD, CB = CD בנו שרשרת הוכחה לתכונות האלכסון הראשי.

  1. AB = AD ו־BC = DC נתונים, ו־AC משותפת. לכן △ABC ≅ △ADC לפי צלע־צלע־צלע, בהתאמה A↔A, B↔D, C↔C.
  2. מזוויות מתאימות מתקבלים ∠BAC = ∠CAD, ∠BCA = ∠ACD וגם ∠ABC = ∠ADC. לכן AC חוצה את A ואת C.
  3. כיוון ש־O על AC, מתקיים ∠BAO = ∠OAD. יחד עם AB = AD ו־AO המשותפת נקבל △ABO ≅ △ADO לפי צלע־זווית־צלע.
  4. מכאן BO = DO ו־∠AOB = ∠AOD. הזוויות צמודות וסכומן 180°, לכן כל אחת 90°.
  5. קיבלנו חצייה וניצבות בנימוקים נפרדים. AO = CO אינו חלק מן המסקנות.

תרגול מודרך

מה מתיר להשתמש בזוויות שוות ב־A בחפיפת ABO ו־ADO?

  • החפיפה הקודמת ABC≅ADC לפי צלע־צלע־צלע
  • הנחה שהאלכסונים מאונכים
  • הנחה שכל דלתון הוא מעוין

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

איזו מסקנה דורשת גם את העובדה B, O, D על ישר אחד?

  • AB = AD
  • AC = AC
  • ∠AOB = 90°

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

2. משפט הפוך: ניצבות וגם חצייה

משפט הפוך מחליף בין ההנחה למסקנה, והוא דורש הוכחה משלו. במרובע קמור ABCD, אם AC ⟂ BD וגם BO = DO, אפשר להוכיח AB = AD ו־CB = CD. במשולשים ABO ו־ADO: AO משותפת, BO = DO והזוויות הכלואות ב־O ישרות. לכן הם חופפים לפי צלע־זווית־צלע. חפיפה דומה של CBO ו־CDO נותנת את הזוג השני. לעומת זאת ניצבות לבדה אינה מספיקה. גם השטח AC×, כאשר האלכסונים מאונכים, אינו מוסיף את תנאי החצייה החסר.

דוגמה: הוכיחו שאנך אמצעי הוא תנאי מספיק לדלתון, ובדקו מה קורה אם משמיטים את BO = DO.

  1. מהנתונים AC ⟂ BD ו־BO = DO, יחד עם AO המשותפת, מתקבלת △ABO ≅ △ADO לפי צלע־זווית־צלע. לכן AB = AD.
  2. בדומה, CO משותפת, BO = DO והזוויות BOC ו־DOC ישרות; לכן △CBO ≅ △CDO ומכאן CB = CD. המרובע דלתון לפי ההגדרה.
  3. כעת נבנה על שני ישרים מאונכים AO = 3, CO = 4 בקרניים מנוגדות, ו־BO = 2, DO = 1 בשתי הקרניים האחרות. הסדר סביב המרובע הוא A, B, C, D; כל זווית פנימית היא סכום שתי זוויות חדות, ולכן הוא קמור.
  4. מפיתגורס AB² = 13, AD² = 10, CB² = 20, CD² = 17. כל הריבועים שונים, ולכן כל ארבע הצלעות שונות. האלכסונים מאונכים, אך אין דלתון.
  5. הדוגמה מפריכה רק את הנוסח החסר ״ניצבות מספיקה״. היא אינה מקיימת BO = DO ולכן אינה סותרת את המשפט שהוכחנו.
המשפט ההפוך: הנתונים באלכסונים, המסקנות בצלעותabba4733ABCDO
המשפט ההפוך: הנתונים באלכסונים, המסקנות בצלעות

זהו איור לחלק הראשון של הדוגמה הפתורה, ולא לדוגמה הנגדית בהמשך. נתונים AC ⟂ BD ו־BO = DO, ולכן הסימן הישר וסימני השוויון על BO ו־DO מסומנים כנתונים. בעקבות שתי חפיפות מתקבלים AB = AD = a ו־CB = CD = b; האותיות החוזרות הן מסקנות ההוכחה. רק לציור נבחרו AO = 4, CO = 7, BO = DO = 3, ולכן a = 5 ו־b = 58; ההוכחה כללית.

תרגול מודרך

במרובע קמור נתון BO = DO. איזה נתון נוסף משלים תנאי מספיק לדלתון באמצעות חפיפת המשולשים הקטנים?

  • AO = CO בלבד
  • AC ⟂ BD
  • AC = BD בלבד

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

בדוגמה AO = 3, CO = 4, BO = 2, DO = 1 על שני ישרים מאונכים, איזה נימוק מוכיח שהמרובע אינו דלתון?

  • ארבעת ריבועי הצלעות 13, 10, 20, 17 שונים
  • BO ≠ DO ולכן אין שום מרובע
  • AC קצר מ־BD

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

3. דרך זיהוי אחרת: חציית שתי זוויות נגדיות

במרובע הקמור ABCD נניח שהאלכסון AC חוצה גם את זווית A וגם את זווית C. אין להניח מראש שוויון צלעות. נקבל ∠BAC = ∠CAD וגם ∠BCA = ∠ACD, והצלע AC משותפת ונמצאת בין שני זוגות הזוויות האלה. לכן △ABC ≅ △ADC לפי זווית־צלע־זווית. מן החפיפה נקבל AB = AD ו־CB = CD: המרובע דלתון. יחד עם המשפט הישיר, זה מוכיח שקילות: מרובע קמור הוא דלתון עם זוגות אלה אם ורק אם AC חוצה את שתי הזוויות A ו־C.

דוגמה: במרובע קמור ABCD נתון ∠BAC = ∠CAD וגם ∠BCA = ∠ACD. הוכיחו שהוא דלתון, והסבירו למה אין להשתמש כאן מראש בצלע־צלע־צלע.

  1. שני זוגות הזוויות שווים מן הנתון. הצלע AC משותפת לשני המשולשים והיא כלואה בין הזוויות הנתונות.
  2. לכן △ABC ≅ △ADC לפי זווית־צלע־זווית, בהתאמה A↔A, B↔D, C↔C.
  3. מכאן AB = AD וגם BC = DC, כצלעות מתאימות במשולשים חופפים. אלה בדיוק שני זוגות הצלעות הדרושים להגדרה.
  4. שוויונות הצלעות הם המסקנה, ולכן אסור להשתמש בהם כהנחות להפעלת צלע־צלע־צלע.
  5. אילו היה נתון רק ש־AC חוצה את A, החפיפה הזאת עדיין לא הייתה מוצדקת: זוג הזוויות השוות ב־C היה חסר. חסר בנימוק אינו הוכחה שהמרובע אינו דלתון; הוא אומר שטרם הוכחנו זאת.

תרגול מודרך

איזו צלע כלואה בין הזוויות BAC ו־BCA במשולש ABC?

  • AB
  • BC
  • AC

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

תלמיד יודע רק ∠BAC = ∠CAD ו־AC משותפת, וכותב ״ABC≅ADC לפי זווית־צלע־זווית״. מה הביקורת המדויקת?

  • כבר הוכח שהמרובע אינו דלתון
  • חסר שוויון הזוויות ב־C להשלמת החפיפה הזאת
  • חפיפה לעולם אינה מוכיחה דלתון

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

4. שטחים שווים אם ורק אם מתקבל מעוין

כעת נתון שוב דלתון AB = AD, CB = CD. כבר הוכחנו AC ⟂ BD ו־BO = DO. נסמן p = AO, q = CO ו־b = BD; כל אלה חיוביים. לשני המשולשים ABD ו־CBD בסיס משותף b וגבהים p ו־q, ולכן S(ABD) = ו־S(CBD) = . השטחים שווים אם ורק אם p = q, כי מחלקים באותו החיובי. עוד נוכיח ש־p = q אם ורק אם הדלתון מעוין. ״מעוין״ פירושו כאן מרובע בעל ארבע צלעות שוות; אין להניח מראש שהוא המקרה היחיד של הדלתון.

דוגמה: הוכיחו: בדלתון הקמור, S(ABD) = S(CBD) אם ורק אם ABCD מעוין.

  1. כיוון ראשון: אם השטחים שווים, אז = . מכפילים ב־2 ומחלקים ב־b > 0; מתקבל p = q, כלומר AO = CO.
  2. המשולשים AOB ו־COB חופפים לפי צלע־זווית־צלע: AO = CO, OB משותפת והזוויות הכלואות ישרות. לכן AB = CB.
  3. בשילוב AB = AD ו־CB = CD מתקבל AB = BC = CD = DA. לכן הדלתון מעוין.
  4. כיוון שני: אם הוא מעוין, אז AB = CB. במשולשים ישרי־הזווית AOB ו־COB מתקיים AB² = AO² + BO² וגם CB² = CO² + BO².
  5. מציבים את שוויון הצלעות ומחסרים BO² משני האגפים: AO² = CO². האורכים חיוביים, ולכן AO = CO. אותו בסיס ואותו גובה נותנים S(ABD) = S(CBD). שני הכיוונים הוכחו.

תרגול מודרך

בדלתון S(ABD) = 24 ו־S(CBD) = 24. מה נובע, ובאיזה נימוק?

  • הוא מעוין, כי בסיס משותף ושטחים שווים נותנים AO = CO
  • הוא ריבוע, כי כל שטח הוא 24
  • לא ניתן להסיק דבר גם אם ידוע שהוא דלתון

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

איזה זוג משולשים שווה־שטח בכל דלתון, גם כש־AO ≠ CO?

  • ABD ו־CBD
  • ABC ו־ADC
  • AOB ו־COB

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

בדיקה עצמית

הסבירו את דרך הפתרון ובדקו את התוצאה מול הנתונים והתנאים המקוריים. אפשר לפתוח משוב ורמזים ביחידה המקוונת.