קליק · בסיס מודרך בחטיבת הביניים

דלתון: הוכחת תכונות באמצעות חפיפה

מסלול מודרך שמתחיל בהגדרה ובחפיפת משולשים, מוכיח חציית זוויות ואנך אמצעי, ומלמד לזהות הוכחה מעגלית ומסקנה שלא הוכחה. ההתאמה לרמה היא פדגוגית; אין כאן טענה לכיסוי מלא של תוכנית שנתית.

הרחבה לבחירה · סדנת הוכחות בדלתון, תנאים מספיקים וחקירת משפחות. הרחבה לבחירה, לא פרק חובה נפרד. מסלול זה בונה את היסודות בצעדים מודרכים.

יחידת לימוד עד כיתה ט׳, עם הרחבות מסומנות לבחירה. הרמות הן של קליק; הן אינן מסלולי בגרות או אישור לכיסוי מלא של תוכנית שנתית.

https://klikedu.app/learn/advanced-kite?target=3

לפני שמתחילים

1. מהנתונים לשלושה זוגות צלעות

במסלול זה ABCD הוא מרובע קמור לא מנוון: A, B, C, D רשומים לפי הסדר סביב ההיקף, והאלכסונים נפגשים בנקודה פנימית O. דלתון מוגדר כאן על ידי AB = AD וגם CB = CD; מעוין נכלל כמקרה מיוחד. AC מחבר את מפגשי זוגות הצלעות השוות ונקרא האלכסון הראשי, גם אם אינו הארוך יותר. מרובע קמור אינו מתקפל פנימה. כדי להוכיח תכונות, נחלק אותו ב־AC לשני משולשים: ABC ו־ADC. משפט צלע־צלע־צלע אומר ששלושה זוגות של צלעות מתאימות שוות מספיקים לחפיפה. חפיפה היא התאמה שבה הצלעות והזוויות המתאימות שוות; מסקנות על זוויות מותרות רק אחרי שנימקנו את החפיפה.

דוגמה: נתון הדלתון הקמור ABCD, ובו AB = AD ו־CB = CD. הוכיחו △ABC ≅ △ADC בלי להשתמש בתכונת אלכסונים.

  1. במשולשים ABC ו־ADC מתקיים AB = AD מן הנתון, וגם BC = DC מן הנתון.
  2. הצלע השלישית היא אותו קטע: AC = AC, צלע משותפת. לא נדרש להניח דבר על נקודת החיתוך O.
  3. לכן △ABC ≅ △ADC לפי צלע־צלע־צלע. ההתאמה היא A↔A, B↔D, C↔C.
  4. בדיקת הסדר: AB מתאימה ל־AD, BC ל־DC ו־AC ל־AC. שוויון AB = BC לא נתון ואינו נחוץ.

תרגול מודרך

כבר ידוע AB = AD וגם BC = DC. איזה שוויון משלים חפיפה לפי צלע־צלע־צלע של ABC ו־ADC?

  • AO = OC
  • AC = AC
  • BD = AC

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

בחפיפה △ABC ≅ △ADC, איזו התאמה של זוג צלעות נכונה?

  • BC ↔ DC
  • BC ↔ AC
  • AB ↔ CD

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

2. מה החפיפה מוכיחה על הזוויות?

מן החפיפה △ABC ≅ △ADC, בהתאמה A↔A, B↔D, C↔C, נובעים שלושה שוויונות: ∠BAC = ∠DAC, ∠BCA = ∠DCA, וגם ∠ABC = ∠ADC. AC נמצא בתוך זוויות A ו־C של המרובע הקמור. לכן שני השוויונות הראשונים אומרים שהוא חוצה אותן: מחלק כל אחת לשתי זוויות שוות. השוויון השלישי משווה את הזוויות השלמות ב־B וב־D; הוא אינו אומר ש־BD חוצה אותן. שם זווית יכול להיכתב בשני הכיוונים: ∠DAC ו־∠CAD מציינים אותה זווית.

דוגמה: בדלתון ABCD נתון ∠BAD = 70° וגם ∠BCD = 90°. הסיקו את חצאי הזוויות ב־A וב־C, ואז מצאו את זוויות B ו־D.

  1. מהשלב הקודם △ABC ≅ △ADC לפי צלע־צלע־צלע. לכן ∠BAC = ∠CAD; שתי הזוויות יחד יוצרות 70°, וכל אחת 35°.
  2. באותה התאמה ∠BCA = ∠ACD; יחד הן 90°, ולכן כל אחת 45°.
  3. במשולש ABC סכום הזוויות הוא 180°, ולכן ∠ABC = 180° − 35° − 45° = 100°.
  4. ∠ADC מתאימה ל־∠ABC בחפיפה, ולכן גם היא 100°. לא השתמשנו בטענה ש־BD חוצה זווית.

תרגול מודרך

O נמצאת בתוך AC. איזה שוויון שכבר נובע מן החפיפה מאפשר לומר ∠BAO = ∠OAD?

  • ∠BAC = ∠CAD
  • ∠ABC = ∠ADC בלבד
  • AO = OC

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

הוכח △ABC ≅ △ADC. אם ∠ABC = 78°, איזו מסקנה מוצדקת מיד?

  • ∠ADC = 39°
  • ∠ADC = 78°
  • ∠ABD = 39°

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

3. חפיפה שנייה מוכיחה חצייה וניצבות

נסמן O = AC ∩ BD. הקמירות מבטיחה ש־O פנימית לשני האלכסונים. כבר הוכחנו ש־AC חוצה את זווית A, ולכן ∠BAO = ∠OAD. במשולשים ABO ו־ADO יש AB = AD, צלע משותפת AO וזוויות כלואות שוות ב־A. זו חפיפת צלע־זווית־צלע, גם לפני שיודעים מה הזווית ב־O. ממנה מקבלים BO = DO וגם ∠AOB = ∠AOD. שתי הזוויות ב־O צמודות על הישר BD, ולכן סכומן 180°. שוויונן הופך כל אחת ל־90°. קו המאונך לקטע ועובר באמצעו נקרא אנך אמצעי; לפיכך AC הוא אנך אמצעי ל־BD.

דוגמה: השלימו הוכחה ש־AC מאונך ל־BD וחוצה אותו, בלי להניח מראש זווית ישרה.

  1. AB = AD נתון; AO = AO משותפת; ∠BAO = ∠OAD נובע מחציית זווית A שהוכחה קודם.
  2. לכן △ABO ≅ △ADO לפי צלע־זווית־צלע, בהתאמה A↔A, B↔D, O↔O.
  3. צלעות מתאימות נותנות BO = DO; זוויות מתאימות נותנות ∠AOB = ∠AOD.
  4. נסמן כל אחת מן הזוויות השוות α. מאחר ש־B, O, D על ישר אחד, α + α = 180°, כלומר 2α = 180°. מחלקים את שני האגפים ב־2 ומקבלים α = 90°.
  5. ניצבות נובעת מן הזוויות הישרות; חצייה נובעת בנפרד מ־BO = DO. יחד הן מוכיחות אנך אמצעי.
שתי חפיפות: משוויון צלעות לאנך אמצעיαα3644ABCDO
שתי חפיפות: משוויון צלעות לאנך אמצעי

שרטוט מלווה להוכחה לאחר השלמתה: AB = AD ו־CB = CD הם נתוני הדלתון ומסומנים בשני סוגי סימני שוויון. שתי זוויות α ב־A שוות כמסקנה מן החפיפה הראשונה; הסימן הישר ב־O וחציית BD הם מסקנות מן החפיפה השנייה והצמידות. נבחרו לציור בלבד AO = 3, CO = 6 ו־BO = DO = 4; ההוכחה אינה תלויה באורכים האלה, ואינה טוענת AO = CO.

תרגול מודרך

איזה סדר הוכחה תקין?

  • ניצבות → הנחת זוויות ישרות → חפיפה להוכחת ניצבות
  • חציית A שכבר הוכחה → חפיפת ABO ו־ADO → זוויות שוות וצמודות → ניצבות
  • AO = OC מן הציור → ניצבות

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

מדוע שוויון ∠AOB = ∠AOD מוכיח שכל אחת 90° דווקא?

  • כי כל שתי זוויות שוות הן ישרות
  • כי O אמצע AC
  • כי הן גם צמודות על הישר BD וסכומן 180°

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

4. בודקים שלא הוספנו מסקנה להוכחה

הוכחה טובה מבדילה בין מה שניתן, מה שהוכח ומה שעדיין לא ידוע. הוכחנו BO = DO; לא הוכחנו AO = CO. לכן המשפט המדויק הוא: האלכסון הראשי חוצה את האלכסון האחר, ולא ״האלכסונים חוצים זה את זה״. גם אסור להתחיל הוכחת ניצבות במשפט ״המשולשים ABO ו־ADO ישרי־זווית״: זאת בדיוק התוצאה המבוקשת. זוהי הנמקה מעגלית. כדי להפריך טענה כללית מותר להציג דוגמה נגדית אחת, אך צריך לוודא שהיא מקיימת את כל הנתונים.

דוגמה: תלמיד כתב: ״ABO ו־ADO ישרי־זווית ולכן חופפים; מכאן AC מאונך ל־BD וגם AO = CO״. מצאו שתי שגיאות ותקנו את הטיעון.

  1. שגיאה ראשונה: הזווית הישרה הונחה לפני שהוכחה. התיקון הוא להשתמש בחציית A, ב־AB = AD וב־AO המשותפת, ולהפעיל צלע־זווית־צלע.
  2. לאחר החפיפה מסיקים BO = DO, ואת הניצבות מסיקים מזוויות שוות וצמודות ב־O.
  3. שגיאה שנייה: CO אינו צלע באף אחד מן המשולשים שחפפנו. אין בחפיפה זאת מקור לשוויון AO = CO.
  4. דוגמה נגדית: בונים שני ישרים מאונכים דרך O; מציבים A ו־C בקרניים מנוגדות במרחקים 3 ו־6, ואת B ו־D בשתי הקרניים האחרות במרחק 4 מכל צד. שני זוגות המשולשים הקטנים חופפים לפי צלע־זווית־צלע, ולכן AB = AD וגם CB = CD.
  5. המרובע קמור: כל זווית שלו היא סכום שתי זוויות חדות במשולשים ישרי־זווית, ולכן קטנה מ־180°. זהו דלתון תקין ובו AO = 3 ≠ 6 = CO. כך הטענה הנוספת הופרכה.

תרגול מודרך

איזה שוויון אינו מובטח בחפיפה △ABO ≅ △ADO?

  • BO = DO
  • AB = AD
  • AO = CO

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

מה צריך לתקן במשפט ״מכיוון שבדלתון האלכסונים חוצים זה את זה, AO = CO״?

  • להחליף את הטענה ב־AC חוצה את BD, ולכן BO = DO
  • להשאיר את הטענה ולמדוד AO בציור
  • להסיק AO = CO כי AC חוצה זווית

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

בדיקה עצמית

הסבירו את דרך הפתרון ובדקו את התוצאה מול הנתונים והתנאים המקוריים. אפשר לפתוח משוב ורמזים ביחידה המקוונת.